Exercices sur les suites numériques

(1)

Suites numériques

Convergence de suites

Exercice 1 [ 02247 ][correction]

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles convergeant vers`et`⁰ avec` < `⁰. Montrer qu’à partir d’un certain rang :u_n< v_n.

Montrer que (u_n)∈Z^Nconverge si, et seulement si, (u_n) est stationnaire.

Soient (a, b)∈R², (u_n) et (v_n) deux suites telles que (n∈N, u_n6aetv_n6b

un+vn→a+b Montrer queun→aetvn→b.

Soit (un) et (vn) deux suites réelles telles que (un+vn) et (un−vn) convergent.

Montrer que (un) et (vn) convergent.

Soient (u_n) et (v_n) deux suites convergentes. Etudier

n→+∞lim max(un, vn)

Soient (un) et (vn) deux suites réelles telles que u²_n+u_nv_n+v²_n→0 Démontrer que les suites (un) et (vn) convergent vers 0.

Soient (un) et (vn) deux suites telles que

06un61, 06vn61 etunvn→1 Que dire de ces suites ?

Soit (u_n) une suite de réels non nuls vérifiant un+1

u_n →0 Déterminer la limite de (un).

SoientK un réel strictement supérieur à 1 et (εn) une suite de réels positifs convergeant vers 0. Soit (un) une suite de réels de [0,1] vérifiant

∀n∈N,06un+16 un+εn

K La suite (u_n) converge-t-elle vers 0 ?

Calcul de limites

Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (u_n) suivantes : a)u_n= 3ⁿ−(−2)ⁿ

3ⁿ+ (−2)ⁿ b)u_n =p

n²+n+ 1−p

n²−n+ 1 c)un= n−√

n²+ 1 n+√

n²−1 d)un = 1 n²

n

X

k=1

k

Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : a)u_n=

1 + 1

n ⁿ

b)u_n = √ⁿ n²

c)u_n=

sin1 n

^1/n

d)u_n = n−1

n+ 1 ⁿ

(2)

Déterminer par comparaison, la limite des suites (un) suivantes : a)u_n= sinn

n+ (−1)ⁿ⁺¹ b)u_n = n!

nⁿ c)un= n−(−1)ⁿ

n+ (−1)ⁿ d)un = eⁿ nⁿ e)u_n= pⁿ

2 + (−1)ⁿ

Déterminer les limites des sommes suivantes : a)S_n =

n

X

k=1

√

k b)S_n=

n

X

k=1

√1 k c)Sn =

n

X

k=1

1

n²+k² d)Sn=

2n

X

k=n+1

1 k² e)S_n =

n

X

k=1

n

n²+k f)S_n=

n

X

k=1

√ 1 n²+k g)S_n =

n

X

k=0

(−1)^n−kk!

Comparer

m→+∞lim lim

n→+∞

1−1

n m

, lim

n→+∞ lim

m→+∞

1− 1

n m

et lim

n→+∞

1− 1

n n

Soit (u_n) une suite de réels strictement positifs. On suppose √ⁿ

u_n→`.

a) Montrer que si` <1 alors u_n →0.

b) Montrer que si` >1 alors u_n→+∞.

c) Montrer que dans le cas`= 1 on ne peut rien conclure.

Soit (u_n) une suite de réels strictement positifs. On suppose un+1

u_n →`

a) Montrer que si` <1 alors un→0.

b) Montrer que si` >1 alorsun→+∞.

c) Observer que dans le cas`= 1 on ne peut rien conclure.

Pour toutn∈N, on pose S_n =

n

X

k=1

1

n+k etS_n⁰ =

n

X

k=1

(−1)^k−1 k a) Etablir que pour toutp >1,

Z p+1

p

dx x 61

p 6 Z p

p−1

dx x En déduire la limite de (Sn).

b) Etablir queS_2n⁰ =Sn. En déduire la limite de (S_n⁰).

Déterminer la limite de

un =

n

X

k=0

n k

!−1

Soitp∈N\ {0,1}. Pourn∈N^? on pose u_n= n+p

n

!⁻¹

etS_n=

n

X

k=1

u_k

a) Montrer que

∀n∈N, (n+p+ 2)un+2= (n+ 2)un+1

b) Montrer par récurrence Sn = 1

p−1(1−(n+p+ 1)un+1)

c) On pose∀n∈N^? vn = (n+p)un. Montrer que (vn) converge vers 0.

d) En déduire limSn en fonction dep.

(3)

Soitz∈Cavec|z|<1. Existence et calcul de

n→+∞lim

n

Y

k=0

1 +z²^k

Etudier la convergence de deux suites réelles (un) et (vn) vérifiant

n→+∞lim (un+vn) = 0 et lim

n→+∞(e^uⁿ+ e^vⁿ) = 2 Exercice 22 [ 02262 ][correction]

Soita∈Ret pourn∈N,

Pn=

n

Y

k=1

cos a 2^k Montrer que

sin a 2ⁿ

P_n= 1 2ⁿ sin(a) et déterminer lim

n→∞Pn.

Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : a)un= √ⁿ

n b)un=

1 +x n

ⁿ

c)un=

n−1 n+ 1

n+2

d)un=n²

cos1

n−cos 1 n+ 1

e)un= tanπ

4 +α n

n

f)un =

ln(n+ 1) lnn

ⁿ^lnⁿ

g)u_n= √n

2 + √ⁿ 3 + √ⁿ

4 3

ⁿ

h)u_n=

arctan(n+ 1) arctann

ⁿ²

Nature de la suite de terme général

u_n= cos(πn²ln(1−1/n))

Etudier la convergence de la suite

baⁿc^1/n

, oùa >0.

Soit (un) une suite d’entiers naturels deux à deux distincts. Montrer que un →+∞.

Soientα >0 et

un=

n

X

k=1

1 n^α+k^α

a) Montrer que siα >1 alorsu_n→0 tandis que siα <1,u_n→+∞.

b) Montrer que siα= 1, la suite est monotone et convergente.

c) Toujours dans le casα= 1 et en exploitant l’encadrement

ln(1 +x)6x6−ln(1−x) valable pour toutx∈[0,1[, établir un→ln 2.

a) Etablir que pour toutx>0 on a x−1

2x²6ln(1 +x)6x b) En déduire la limite de

un =

n

Y

k=1

1 + k

n²

a) Soit

un =

np

X

k=1

1 n+k

oùp∈N^? est fixé. Montrer que la suite (un) converge. Sa limite sera notée`(on ne demande pas ici de la calculer)

b) Soitf :R⁺→Cde classeC¹ et telle quef(0) = 0. Soit vn=

np

X

k=1

f 1

n+k

(4)

Montrer que (vn) converge. Exprimer sa limite en fonction de`.

c) Calculer` en utilisantf(x) = ln(1 +x).

d) Sif deR⁺ dansCest continue et vérifief(0) = 0, montrer qu’il peut y avoir divergence de la suite (vn).

Limites des suites monotones

Soit (un) une suite croissante de limite`. On pose v_n= u₁+· · ·+u_n

n a) Montrer que (vn) est croissante.

b) Etablir quev2n> ^uⁿ^+v2 ⁿ. c) En déduire quevn→`.

Soit (u_n) une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suitev_n = sup

p>n

u_p.

Soit (u_n) une suite réelle bornée. On pose vn= sup

p>n

up etwn= inf

p>nup

Montrer que les suites (v_n) et (w_n) possèdent chacune une limite dans Ret comparer celles-ci.

[Somme harmonique]

Pour toutn∈N, on pose

Hn=

n

X

k=1

1 k Montrer que

∀n∈N^?, H2n−Hn> 1 2 En déduire que lim

n→∞Hn= +∞.

Soit (Hn) la suite définie pourn∈N^? par Hn=

n

X

k=1

1 k a) Montrer queH_n→+∞.

b) Soit (u_n) une suite telle quen(u_n+1−u_n)→1. Montrer queu_n→+∞.

On pose

un= 1×3×5× · · · ×(2n−1) 2×4×6× · · · ×(2n) a) Exprimerun à l’aide de nombres factoriels.

b) Montrer que la suite (un) converge.

c) On pose

vn= (n+ 1)u²_n

Montrer que la suite (v_n) converge. En déduire la limite de la suite (u_n) d) Simplifier

2n

Y

k=2

1− 1

k

et comparer ce produit àu²_n.

e) En déduire que la limiteCde la suite (vn) est strictement positive.

Soienta >0 et

u_n= (1 +a)(1 +a²). . .(1 +aⁿ) a) Montrer que sia>1 alorsu_n→+∞.

b) On suppose 0< a <1. Montrer que la suite (u_n) est convergente. On pourra exploiter la majoration 1 +x6e^xvalable pour toutx∈R.

Suites adjacentes

Soientθ∈]0, π/2[ et

u_n= 2ⁿsin θ

2ⁿ,v_n= 2ⁿtan θ 2ⁿ

(5)

Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes. Quelle est leur limite commune ?

On pose

u_n=

n

X

k=1

√1 k −2√

netv_n =

n

X

k=1

√1 k−2√

n+ 1 Montrer que les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes.

En déduire un équivalent de

n

X

k=1

√1 k

Pour toutn∈N^?, on pose Sn =

n

X

k=1

1

k² et S_n⁰ =Sn+ 1 n Montrer que les suites (Sn) et (S_n⁰) sont adjacentes.

On peut montrer que leur limite commune estπ²/6, mais c’est une autre histoire...

[Critère spécial des séries alternées ou critère de Leibniz]

Soit (u_n) une suite de réels décroissante et de limite nulle.

Pour toutn∈N, on pose

S_n =

n

X

k=0

(−1)^ku_k

Montrer que les suites extraites (S_2n) et (S_2n+1) sont adjacentes et en déduire que (S_n) converge.

[Irrationalité du nombre de Néper]

Soient

an=

n

X

k=0

1

k! et bn =

n

X

k=0

1 k!+ 1

n.n! =an+ 1 n.n!

a) Montrer que (an) et (bn) sont strictement monotones et adjacentes.

On admet que leur limite commune est e . On désire montrer que e∈/Qet pour cela on raisonne par l’absurde en supposant e = ^p_q avecp∈Z, q∈N^?.

b) Montrer queaq < e < bq puis obtenir une absurdité.

[Moyenne arithmético-géométrique]

a) Pour (a, b)∈R⁺², établir : 2

√

ab6a+b

b) On considère les suites de réels positifs (un) et (vn) définies par u₀=a, v₀=b et∀n∈N, un+1=√

unvn, vn+1= un+vn

2 Montrer que, pour toutn>1,un6vn,un6un+1 etvn+16vn. c) Etablir que (un) et (vn) convergent vers une même limite.

Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique deaet bet est notéeM(a, b).

d) CalculerM(a, a) et M(a,0) poura∈R⁺.

e) ExprimerM(λa, λb) en fonction deM(a, b) pourλ∈R⁺.

[Irrationalité de e]

On pose pourn>1,

un=

n

X

k=0

1

k! etvn=un+ 1 n.n!

a) Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

b) En exploitant l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonctionx7→e^x, montrer queun→e.

c) On suppose que e =p/qavecp, q∈N^?. En considérantq.q!uq etq.q!vq obtenir une absurdité.

Suites extraites

On suppose que (un) est une suite réelle croissante telle que (u2n) converge.

Montrer que (un) converge.

(6)

Soit (un) une suite complexe telle que (u2n),(u2n+1) et (u3n) convergent. Montrer que (un) converge.

Justifier que la suite de terme général cos(n) diverge.

Montrer que la suite de terme général sin(n) diverge.

Soit (un) une suite réelle telle que

∀n, p∈N^?, 06un+p6 n+p np Montrer que (u_n) tend vers 0.

Soit (u_n) une suite réelle vérifiant

un+1−un →0 etun →+∞

Montrer qu’il existe une applicationϕ:N→Nstrictement croissante vérifiant u_ϕ(n)−n→0

Limite de suites de solutions d’une équation

Soitnun entier naturel etE_n l’équationx+ tanx=nd’inconnuex∈]−π/2, π/2[.

a) Montrer que l’équationE_n possède une solution unique notéex_n. b) Montrer que la suite (x_n) converge et déterminer sa limite.

Montrer que l’équationxe^x=npossède pour toutn∈N, une unique solution x_n dansR⁺.

Etudier la limite de (xn).

Soitnun entier naturel non nul etEn l’équation :xⁿlnx= 1 d’inconnuex∈R^+?. a) Montrer que l’équationEn admet une unique solutionxn, et que xn>1.

b) Montrer que la suite (xn) est décroissante et converge vers 1.

Soientn∈N^? et

En:xⁿ+xⁿ⁻¹+· · ·+x= 1

a) Montrer que l’équationE_n possède une unique solutionx_n dansR⁺ et que x_n ∈[1/2,1]

b) Montrer que (x_n) converge.

c) Déterminer la limite de (xn).

Montrer que pour toutn>1, l’équation xⁿ

n! =

n−1

X

k=0

x^k k!

possède une unique racinexn dans ]0,+∞[. Déterminer limxn.

Montrer que la relationnuⁿ⁺¹_n −(n+ 1)uⁿ_n = 1 définit une suite positive (un) unique.

Etudier sa convergence et préciser sa limite.

Expression du terme général d’une suite récurrente

Donner l’expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle (un)n>0 définie par :

a)u0= 0 et∀n∈N, un+1= 2un+ 1 b)u0= 0 et∀n∈N, un+1= ^uⁿ₂⁺¹.

(7)

Soit (xn) et (yn) deux suites réelles telles que

∀n∈N, xn+1= xn−yn

2 etyn+1= xn+yn

2

En introduisant la suite complexe de terme généralz_n=x_n+i.y_n, montrer que les suites (xn) et (yn) convergent et déterminer leurs limites.

Soit (zn) une suite complexe telle que

∀n∈N, zn+1= 1

3(zn+ 2¯zn)

Montrer que (zn) converge et exprimer sa limite en fonction dez0.

Soit (un) et (vn) les suites déterminées paru0= 1,v0= 2 et pour toutn∈N: un+1= 3un+ 2vn et vn+1 = 2un+ 3vn

a) Montrer que la suite (un−vn) est constante.

b) Prouver que (un) est une suite arithmético-géométrique.

c) Exprimer les termes généraux des suites (un) et (vn).

Soientρ >0 etθ∈]0, π[.

On considère la suite complexe (zn) définie parz0=ρe^iθ et

∀n∈N, z_n+1=zn+|zn| 2 a) Exprimerz_n sous forme d’un produit.

b) Déterminer lim

n→+∞z_n.

Etudier la suite (zn)n>0 définie parz0∈Cet

∀n∈N, zn+1=zn+|zn| 2

Soit (un) une suite réelle telle que

u₀= 1 et∀n∈N, u_n+1=

1 + 1 n+ 1

u_n

Donner l’expression du terme généralun de cette suite.

Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Donner l’expression du terme général de la suite récurrente complexe (u_n)_n_>₀ définie par :u₀= 0, u₁= 1 + 4iet

∀n∈N, un+2= (3−2i)un+1−(5−5i)un

Donner l’expression du terme général des suites récurrentes réelles suivantes : a) (un)n>0 définie paru0= 1, u1= 0 et∀n∈N, un+2= 4un+1−4un

b) (un)n>0 définie paru0= 1, u1=−1 et∀n∈N,2un+2= 3un+1−un

c) (un)n>0 définie paru0= 1, u1= 2 et∀n∈N, un+2=un+1−un.

Soitθ∈]0, π[. Déterminer le terme général de la suite réelle (u_n) définie par : u0=u1= 1 et∀n∈N, un+2−2 cosθun+1+un= 0

Déterminer les fonctionsf :R^+?→R^+? vérifiant

∀x >0, f(f(x)) = 6x−f(x)

Etude de suites récurrentes

Etudier la suite (un) définie par

u₀=a∈Ret∀n∈N,u_n+1=u²_n

(8)

u0∈Ret ∀n∈N, un+1=u²_n+ 1

u₀= 1 et∀n∈N, u_n+1=√ 1 +u_n

Etudier la suite (u_n) définie par

u0>1 et∀n∈N, un+1= 1 + ln(un)

u0∈Ret∀n∈N, un+1= e^uⁿ−1

u₀>0 et∀n∈N, un+1= 1 2 +u_n

Soit (u_n) la suite réelle définie par

u0=a∈[−2,2] et∀n∈N, un+1=√ 2−un

a) Justifier que la suite (un) est bien définie et

∀n∈N, u_n∈[−2,2]

b) Quelles sont les limites finies possibles pour (un) ?

c) Montrer que (|un−1|) converge puis que lim|un−1|= 0. En déduire limu_n.

Soita∈Ctel que 0<|a|<1 et (un) la suite définie par u₀=aet∀n∈N, un+1= un

2−u_n

Montrer que (un) est bien définie et |un|<1. Etudier la limite de (un).

Soita >0 et (un) la suite définie paru0>0 et

∀n∈N, un+1= 1 2

un+ a

u_n

a) Etudier la convergence de la suite (un).

b) On pose pour toutn∈N

vn= un−√ a un+√

a

Calculerv_n+1 en fonction dev_n, puisv_n en fonction dev₀ etn.

c) Montrer que, siu₀>√ a, on a

un−√

a

62u0.v²₀ⁿ Ainsi,u_n réalise une approximation de√

aà la précision 2u₀.v²₀ⁿ →

n∞0.

On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de√ a.

On considère l’équation lnx+x= 0 d’inconnuex >0.

a) Montrer que l’équation possède une unique solutionα.

b) Former, par l’algorithme de Newton, une suite récurrente réelle (un) convergeant versα.

Déterminer le terme général de la suite (un) définie par :

u0=a >0, u1=b >0 et∀n∈N, un+2un=u²_n+1 A quelle condition (u_n) converge ?

(9)

Soita∈R^+?. On définit une suite (un) par

u0=aet∀n∈N, un+1= v u u t

n

X

k=0

uk

a) Déterminer la limite de (u_n).

b) Déterminer la limite deun+1−un.

Etablir

r 1 +

q 1 +√

1 +· · ·= 1 + 1 1 + ¹

1+. .. Exercice 80 [ 03229 ][correction]

Soit (un) une suite réelle vérifiant

∀n∈N, un∈[1/2,1]

Soit (vn) la suite déterminée par

v0=u0et ∀n∈N, vn+1= vn+un+1

1 +un+1vn

Montrer que la suite (v_n) converge et déterminer sa limite.

Etudier la suite définie paru0>0 et pour toutn∈N, un+1= 1 + 1

4u²_n Exercice 82 [ 00330 ][correction]

Soienta >0,

u₁=√ a,u₂=

q a+√

a,u₃= r

a+ q

a+√ a, Montrer que (un) est convergente.

Soit

f :x7→ x³+ 1 3 et (u_n) la suite définie par

u₀∈Ret∀n∈Nu_n+1=f(u_n)

a) Justifier que l’équationf(x) =xpossède trois racines réelles (qu’on n’exprimera pas).

b) Etudier le signe def(x)−xainsi que la monotonie de f.

c) Préciser le comportement de (un) en discutant selon la valeur de u0. Exercice 84 [ 00332 ][correction]

Soient

f :x7→ x³+ 3ax 3x²+a (aveca >0) et (un) la suite définie par

u0>0 et∀n∈N,un+1=f(un)

Etudier les variations def, le signe def(x)−xet en déduire le comportement de (un).

Soientu0∈]0,1[ et pour toutn∈N,

un+1=un−u²_n

Montrer que (u_n) est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants

n

X

k=0

u²_k et

n

Y

k=0

(1−u_k)

Soitf : [a, b]→[a, b] une fonction de classeC¹ telle que

∀x∈[a, b],|f⁰(x)|<1 a) Montrer quef admet un point fixe uniqueα.

b) Montrer, pour toutu∈[a, b], la convergence versαde la suite (u_n) définie par u₀=uet∀n∈N, u_n+1=f(u_n)

(10)

Soitf : [a, b]→[a, b] une fonction 1 lipschitzienne etα∈[a, b].

On considère la suite définie par

u₀=αet u_n+1=un+f(un) 2 Montrer que (un) converge vers un point fixe def.

Soit (un) la suite définie par

u0∈]0,4[ et∀n∈Nun+1= 4un−u²_n

a) Montrer que (un) est bornée. Quelles sont les limites possibles de (un) ? b) Montrer que si (u_n) converge alors (u_n) est soit stationnaire égale à 0, soit stationnaire égale à 3.

c) En posantu₀= 4 sin²α, déterminer les valeurs deu₀pour lesquelles la suite (u_n) est stationnaire.

Soientρ∈R⁺ etθ∈]−π, π].

On considère la suite complexe (zn) définie par

z₀=ρe^iθ et ∀n∈N, z_n+1= z_n+|zn| 2 a) Exprimer (z_n) à l’aide d’un produit.

b) Déterminer la limite de (z_n).

Soit (un) une suite de réels positifs telle que

∀n∈N, un+261

2(un+un+1)

Montrer que (un) converge. On pourra commencer par étudier la monotonie de v_n = max(u_n+1, u_n).

Soient (un) et (vn) les suites récurrentes réelles définies par : u0, v0∈R⁺ et∀n∈N, un+1=√

unvn, vn+1=un+vn

2 Montrer que les suites (un) et (vn) convergent vers une même limite.

Pourα∈]0, π/2], on étudie les suites (un) et (vn) définies par (u0= cosα

v₀= 1 et ∀n∈N,

(un+1= (un+vn)/2 v_n+1=√

u_n+1v_n a) Etablir que pour toutn∈N,

un=vncos α

2ⁿ etvn=

n

Y

k=1

cos α 2^k b) Etudier sin₂^αnvn et en déduire les limites de (un) et (vn).

Soit (xn)_n∈N^? une suite de réels positifs. On pose, pour toutn >0, yn=

r x1+

q

x2+· · ·+√ xn

a) Icix_n=apour toutn, oùa >0. Etudier la convergence de (y_n).

b) Même question dans le cas oùx_n=ab²ⁿ pour toutn, avecb >0.

c) Montrer que (yn) converge si, et seulement si, la suite (x²_n⁻ⁿ) est bornée.

Soient (a_n) une suite réelle positive, bornée et (u_n) la suite récurrente définie par u₀>0 etun+1= 1

u_n+a_n+ 1 pour toutn∈N

Montrer que la suite (u_n) converge si, et seulement si, la suite (a_n) converge.

Montrer que la suite réelle (xn) définie parx₀∈[a, b] et

∀n∈N, xn+1=1

2(f(xn) +xn)

oùf est 1-lipschitzienne de [a, b] dans [a, b], converge vers un point fixe def.

(11)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

Posonsm= (`+`⁰)/2. On au_n →` < m. Pourε=m−` >0, il existen₀∈Ntel que

∀n>n0,|un−`|< ε et donc

∀n>n0, un < m De façon symétrique, il existen1∈Ntel que

∀n>n₁, v_n> m et alors pour toutn>max(n0, n1) on a

un< m < vn

Si (u_n) est stationnaire, il est clair que cette suite converge.

Inversement, supposons que (u_n) converge et notons`sa limite.

Montrons`∈Z. Par l’absurde, si` /∈ZalorsE(`)< ` < E(`) + 1 donc à partir d’un certain rangE(`)< un< E(`) + 1. Orun∈Z. Absurde. Ainsi `∈Z.

Puisqueun→`et`−1< ` < `+ 1, à partir d’un certain rang`−1< un < `+ 1.

Orun∈Zet `∈Zdoncun =`. Finalement (un) est stationnaire égale à`.

On a l’encadrement

06a−un6(a−un) + (b−vn) = (a+b)−(un+vn)→0 doncu_n →apuis

v_n= (u_n+v_n)−u_n→(a+b)−a=b

Supposonsun+vn→`et un−vn→`⁰.

un=¹₂(un+vn) +¹₂(un−vn)→ ^`+`₂⁰ et de mêmevn→ ^`−`₂⁰.

On a

max(a, b) = 1

2((a+b) +|a−b|) donc

max(u_n, v_n) = 1

2((u_n+v_n) +|u_n−v_n|)→max(limu_n,limv_n)

On a

06(un+vn)²=u²_n+ 2unvn+v²_n62(u²_n+unvn+v_n²)→0 Ainsiu_n+v_n→0 puis

u_nv_n = (u_n+v_n)²−(u²_n+u_nv_n+v²_n)→0 et donc

u²_n+v²_n= 2(u²_n+u_nv_n+v²_n)−(u_n+v_n)²→0 qui permet de conclureun→0 etvn →0.

On a

u_nv_n6u_n, v_n 61 Par le théorème d’encadrement on obtient

limun= limvn = 1

Puisque|u_n+1/u_n| →0<1/2, il existe un rangN∈Nvérifiant

∀n>N,|u_n+1/u_n|61/2 c’est-à-dire

∀n>N,|u_n+1|6 1 2|u_n| On a alors par récurrence

∀n>N,|un|6 1 2^n−N |uN| et donc par comparaisonun→0.

(12)

Montrons que la suite (un) converge vers 0 par l’epsilontique. . .

Soitε >0. Puisque la suite (εn) converge vers 0, il existe un rangN ∈Npour lequel

∀n>N,06εn6ε et alors pour toutn>N

06un+16 un+ε K On en déduit

06u_n+26 un

K² + ε K² + ε

K et par récurrence

∀p∈N,06u_n+p6 u_n K^p +

p

X

i=1

ε Kⁱ La suite (u_n) est majorée par 1 et on peut encore écrire

∀p∈N,06un+p6 1 K^p + ε

K

1−(1/K)^p 1−1/K 6 1

K^p + ε K−1 Pourpassez grand, on a 1/K^p6εet alors

06un+p6ε+ ε

K−1 =λε

avecλune constante strictement positive ce qui permet de conclure.

a)

u_n =1−(−2/3)ⁿ 1 + (−2/3)ⁿ →1 b)

un = 2n

√n²+n+ 1 +√

n²−n+ 1 = 2

q

1 + ¹_n+_n¹2 + q

1−¹_n+_n¹2

→1

c)

u_n=1−p

1 + 1/n² 1 +p

1−1/n² →0 d)

un= (n+ 1) 2n → 1

2

a)un= en(ln(1+1/n)) ornln 1 +_n¹

= _1/n¹ ln 1 + _n¹

→1 car ^ln(1+x)_x −−−→

x→0 1. Par suiteun→e.

b)un= eⁿ²^lnⁿ →1 car ^ln_nⁿ →0.

c) sin_n¹^1/n

= eⁿ¹^ln(sin¹ⁿ⁾or _n¹ln sin_n¹

∼ ¹_nln_n¹ →0 donc sin_n¹^1/n

→1.

d)

n−1 n+1

n

= eⁿ^ln(¹⁻n+1² ) ornln

1−_n+1²

∼ −2→ −2 donc

n−1 n+1

n

→ e⁻².

a)|un|6 n−1¹ →0 doncun →0.

b) 06u_n6 _n.n...n^1.2...n 6 ¹_n →0 doncu_n→0.

c) ⁿ⁻¹_n+1 6u_n6 ⁿ⁺¹_n−1 avec ⁿ⁻¹_n+1,ⁿ⁺¹_n−1→1 doncu_n →1.

d) 06un6 ^e1 e

2×1× · · · ×1×_n^e →0 doncun →0.

e) 16un 6 √ⁿ

3 = eⁿ¹^{ln 3}→1 donc un→1.

a)Sn >

n

P

k=1

1 =n→+∞

b)S_n>

n

P

k=1

√1 n =√

n→+∞.

c) 06Sn6

n

P

k=1 1

n²+1 = _n₂ⁿ₊₁ →0 doncun→0.

d) 06Sn6

2n

P

k=n+1 1

(n+1)² 6(n+1)ⁿ ² →0.

e)

n

P

k=1 n

n²+n 6Sn6

n

P

k=1 n

n²+1 donc _n+1ⁿ 6Sn6 n²ⁿ+1² puisun →1.

f) ^√ ⁿ

n²+n =

n

P

k=1

√ 1

n²+n 6Sn 6

n

P

k=1

√ 1

n²+1 = ^√ⁿ

n²+1 par le théorème des gendarmes :S_n→1.

g)S_n =n!−(n−1)! + (n−2)! +· · ·+ (−1)ⁿ. Par regroupement de termes.

Sinest pair alorsS_n >n!−(n−1)! et sinest impairS_n>n!−(n−1)!−1.

Puisquen!−(n−1)! = (n−1).(n−1)!→+∞, on aS_n →+∞.

n→+∞lim 1−_n¹m

= 1^met lim

m→+∞ lim

n→+∞ 1−_n¹m

= 1.

m→+∞lim 1−_n¹^m

= 0 et lim

n→+∞ lim

m→+∞ 1−_n¹^m

= 0.

1−_n¹ⁿ

= eⁿ^ln(¹⁻n¹)→e⁻¹.

(13)

a) Soitρ=^`+1₂ de sorte que ` < ρ <1.

Comme √ⁿ

un →` < ρ, il existe un rang N au delà duquel √ⁿ

un6ρdonc 0< un6ρⁿ. On a alorsun→0.

b) Même démarche mais par minoration.

c)u_n=n,u_n= 1 etu_n= 1/nsont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.

a) Soitρ=^`+1₂ de sorte que ` < ρ <1.

Comme ^u_uⁿ⁺¹

n →` < ρ, il existe un rangN au delà duquel un+1

u_n 6ρ On a alors

06u_n= u_n un−1

u_n−1 un−2

· · ·u_N+1 uN

u_N 6ρ^n−Nu_N →0 doncu_n →0.

On peut aussi raisonner en observant que la suite (u_n) est décroissante à partir d’un certain rang, donc convergente et que sa seule limite possible est nulle.

b) Même démarche mais par minoration ou par croissance.

c)u_n=n,u_n= 1 etu_n= 1/nsont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.

a) On a

Z p+1

p

dx x 6

Z p+1

p

dx p = 1

p

car la fonction décroissantex7→_x¹ est majorée par ¹_p sur [p, p+ 1].

Par un argument semblable Z p

p−1

dx x >

Z p

p−1

dx p =1

p Pourn>1,

Z n+k+1

n+k

dx x 6 1

n+k 6 Z n+k

n+k−1

dx x donne en sommant

Z 2n+1 n+1

dx

x 6Sn6 Z 2n

n

dx x

Or

Z 2n+1 n+1

dx

x = ln2n+ 1 n+ 1 →ln 2 et

Z 2n n

dx x = ln 2 doncSn→ln 2.

b) On a S_2n⁰ = 1

1−1 2+1

3−1

4+· · ·+ 1 2n−1− 1

2n = 1

1 +1

2 +· · ·+ 1 2n

−2 1

2 +1

4 +· · ·+ 1 2n

donc

S_2n⁰ =

2n

X

k=1

1 k−

n

X

k=1

1 k =

2n

X

k=n+1

1 k =

n

X

k=1

1

n+k =Sn

Par suiteS_2n⁰ →ln 2. De plus S_2n+1⁰ =S2n+_2n+1¹ →ln 2 donc S_n⁰ →ln 2

On a

un = 1 + 1 n+

n−2

X

k=2

n k

!−1

+1 n+ 1 Or pourk∈ {2, . . . , n−2},

n k

!

> n 2

!

=n(n−1) 2 donc

06

n−2

X

k=2

n k

!−1

6 2(n−3) n(n−1) →0 puisu_n→2.

a)

n+p+ 2 n+ 2

!

=n+p+ 2 n+ 2

n+p+ 1 n+ 1

!