FONCTIONS USUELLES TD
Fonctions usuelles – TD
4Généralités sur les fonctions
Exercice 1
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : 1. f :x7→1−x
2+x. 2. f :x7→ x−1
x2+x+1.
3. f :x7→ln(p
x2+1−x).
4. f :x7→ln(p 3x+2) x2−1 .
5. f:x7→p
ln(ln(ln(x))).
6. f:x7→ cos(x) sin(x)−cos(x). Exercice 2
Déterminer toutes les fonctionsf :R→Rtelles que, pour toutx∈R, f(f(x))=x+1 et f(f(x)−1)=1−x.
Calculs de limites
Exercice 3
Calculer, quand c’est possible, la limite de : 1. x2−1x
1−x4 en+∞. 2.
p1+x−p x−1
x en+∞.
3. ln(x)×ln¡ ln(x)¢
en 1+. 4.
µ 1+1
x
¶x
en 0+. 5.
px4+2x−5
x2−3x−7 en+∞.
6. p
x2+x+1−xen+∞et en−∞. 7. p
x2−5x+7−p
x2+3x−8 en+∞et−∞. 8. x×cos
µ1 x
¶ en 0.
9. x×sin¡
ex+ln(x)¢
1+x2 en+∞. 10. ex−sin(x)en+∞.
11. tan(x)×esin(x)1 en 0+.
Continuité
Exercice 4
On considère la fonctionf :x7→3x2+x−2 x2+x−20 1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Étudier les limites def aux bornes de son ensemble de définition.
3. Dresser le tableau de variation def et tracer le graphe de f.
Fonctions logarithmes - exponentielles - puissances
Exercice 5
Résoudre les équations et d’inconnuex∈R: 1. log10(x+2)−log10(x+1)=log10(x−1).
2. 22x−3x−12=3x+12−22x−2. 3. 3x+4x=5x.
4. p x+p3
x=2.
5. (p
x)x=xpx.
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
TD FONCTIONS USUELLES
Exercice 6
Résoudre les systèmes d’équations d’inconnues réellesxety: 1.
½ x+y=30
ln(x)+ln(y)=3 ln(6)
2.
½ x2+y2=218
ln(x)+ln(y)=ln(91).
3.
½ 8x=10y 2x=5y 4.
½ ex×e2y=a
2x×y=1. (Discuter selon les valeurs du para- mètrea.)
Exercice 7
Montrer que, pour tout (x,y)∈R?+×R?+, ln³x+y 2
´
Êln(x)+ln(y)
2 .
Exercice 8
Montrer que, pour toutx∈]0, 1[,xx×(1−x)1−xÊ1 2. Exercice 9
On considère la fonctionf :x7→xx.
1. Dresser le tableau de variations de f.
2. Montrer qu’on peut prolongerf par continuité en 0. On notegce prolongement.
3. La fonctiongest-elle dérivable en 0 ? 4. Tracer la courbe représentative deg.
Exercice 10
Déterminer la valeur maximale de pn
n,n∈N?.
Fonctions hyperboliques
Exercice 11
Résoudre les équations et inéquations d’inconnuex∈R: 1. ch(x)=2.
2. 5 ch(x)−7 sh(x)= −1.
3. sh(a)+sh(a+x)+sh(a+2x)+sh(a+3x)=0. (a∈R) 4. ch(x)Ê3.
Exercice 12
1. Montrer que, pour toutxÊ0, sh(x)Êx.
2. Montrer que, pour toutx∈R, ch(x)Ê1+x2 2 . Exercice 13
Montrer que la fonction sh réalise une bijection deRsur un intervalle à préciser et déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 14
1. Montrer que la fonction ch réalise une bijection deR+sur un intervalle à préciser et déterminer sa bijection réciproque.
2. Montrer que la fonction ch réalise une bijection deR−sur un intervalle à préciser et déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 15 Soit (a,b)∈R2.
1. Exprimer ch(a+b) et sh(a+b) en fonction ch(a), ch(b), sh(a) et sh(b).
2. En déduire que sh(2a)=2 ch(a)×sh(a) et ch(2a)=¡ ch(a)¢2
−¡ sh(a)¢2
.
PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD
FONCTIONS USUELLES TD
Fonctions trigonométriques et trigonométriques réciproques
Exercice 16
Déterminer le domaine de définition et calculer la dérivée de la fonctionf :x7→¡
1+cos(x)¢sin(x)
. Exercice 17
Montrer que, pour toutx∈[0,+∞[, Arctan¡ sh(x)¢
=Arccos µ 1
ch(x)
¶ . Exercice 18
Résoudre l’équation d’inconnue réellex: Arccos(x)=Arcsin(2x).
G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC
