Lycée Marsa Riadh Devoir de synthèse n° 1 M.Zribi Classes :

(1)

Lycée Marsa Riadh Devoir de synthèse n° 1 M.Zribi

Classes : 𝟒𝑴_𝟏− 𝟒𝑴_𝟐 M.Messaoudia Durée : 3h

Exercice 1 ( 5pts )

I- Pour chaque question une seule réponse est correcte. Indiquer la bonne réponse en justifiant.

1- Pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, 3 divise 2^2𝑛− 1 . a- Vrai b- Faux

2- 𝑥 est une solution de l’équation : 𝑥²+ 𝑥 ≡ 0 [6] alors 𝑥 ≡ 0 [6]

a- Vrai b- Faux 3- 𝑥 = 5999 ∧ 994

a- 𝑥 = 1 b- 𝑥 = 7 c- 𝑥 = 13

II- Dans l’annexe I les courbes 𝐶 et Г sont les représentations graphiques respectives d’une fonction 𝑓 et de sa dérivée 𝑓′ définies et dérivables sur [−1,1].

1-Préciser 𝑓(0) , 𝑓^′(0) et 𝑓^′′(0).

2-Donner une équation de la tangente à la courbe de 𝑓 au point d’abscisse 0.

3-Montrer que le point 𝐼(0,3) est un point d’inflexion de la courbe de 𝑓.

4-Soit 𝑡 ∈ [−1,0] montrer que 0 ≤ 𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡 + 1) ≤ 3

𝑝 est un complexe de module 2 ; 𝑃 le point d’affixe 𝑝.

On considère l’équation : (𝐸_𝑝) : 𝑧²− 𝑖(𝑝 − 2)𝑧 + 𝑝 − 1 = 0.

1- a- Vérifier que (−𝑖) est une solution de 𝐸_𝑝. b- Résoudre dans l’équation 𝐸_𝑝.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (𝑂, 𝑢⃗ , 𝑣 ) , on considère les points 𝐴, 𝐵, 𝑀 et 𝑁 d’affixes respectives : 𝑎 = −𝑖 , 𝑏 = 1 , 𝑚 = −𝑖 + 𝑝 et 𝑛 = 𝑖𝑝 − 𝑖.

2- a- Monter que 𝑀 est l’mage de 𝑃 par un déplacement f que l’on caractérisera. .

b- En déduire que lorsque 𝑃 varie , le points 𝑀 appartiennent à un cercle fixe que l’on précisera.

3- montrer que 𝑁 est l’mage de 𝑃 par un déplacement 𝑔 que l’on caractérisera.

4- on pose ℎ = 𝑔𝑜𝑓.

a- Déterminer la nature de ℎ.

b- Déterminer ℎ(𝐵) et en déduire les éléments caractéristiques de ℎ.

(2)

Soit 𝑓 la fonction définie sur [0, +∞[ par : 𝑓(𝑥) =¹

2√𝑥²+ 3𝑥

On désigne par 𝐶 la courbe représentative de 𝑓 dans un repère orthonormé (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) 1- Montrer que la droite 𝐷 ∶ 𝑦 =¹

2𝑥 +³

4 est une asymptote à 𝐶 au voisinage de +∞.

2- a- Etudier la dérivabilité de 𝑓 à droite en 0. Interpréter géométriquement le résultat.

b- Montrer que 𝑓 est dérivable sur ]0, +∞[ et calculer 𝑓^′(𝑥).

c- Dresser le tableau de variation de 𝑓 et tracer 𝐶 dans l’annexe II

3- a- Montrer que 𝑓 réalise une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle 𝐽 que l’on précisera.

b- Tracer la courbe 𝐶′ de 𝑓⁻¹ la fonction réciproque de 𝑓.

c- Montrer que 𝑓⁻¹(𝑥) =¹

2(−3 + √9 + 16𝑥²) pour 𝑥 ∈ 𝐽.

4- Soit 𝑢 la suite définie sur 𝐼𝑁 par : 𝑢₀ = 2 et 𝑢_𝑛+1 = 𝑓(𝑢_𝑛) pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁.

On a tracé dans l’annexe I la courbe 𝐶′′ de la dérivée seconde de 𝑓.

a- En s’aidant de la courbe 𝐶′′, montrer que pour tout 𝑥 ≥ 1 on a : 𝑓^′(𝑥) ≤⁵

8. b- Montrer que pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, on a : |𝑢_𝑛+1− 1| ≤⁵

8|𝑢_𝑛− 1| puis que |𝑢_𝑛− 1| ≤ (⁵

8)^𝑛

c- Déterminer alors la limite de la suite 𝑢.

Le plan est orienté dans le sens direct. Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle et isocèle en 𝐴 tel que :(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡^𝜋

2

̂ [2𝜋].

𝐷 le milieu de [𝐶𝐵] ,𝐺 le milieu de [𝐴𝐵], 𝐼 le milieu de[𝐷𝐵] et 𝐽 le milieu de [𝐴𝐷].

Soit 𝑓 une isométrie qui transforme l’ensemble {𝐴, 𝐵, 𝐶} en l’ensemble {𝐴, 𝐵, 𝐶}.

1- a- Montrer que 𝑓(𝐴) = 𝐴

b- Déterminer alors les isométries qui laissent globalement invariant l’ensemble {𝐴, 𝐵, 𝐶}.

On pose 𝑔 = 𝑟_𝐴𝑜𝑟_𝐶 où 𝑟_𝐴 et 𝑟_𝐶 sont les rotations d’angle ^𝜋

2 et de centres respectifs 𝐴 et 𝐶.

2- Déterminer les droites ∆ et ∆′ telles que : 𝑟_𝐴 = 𝑆_∆𝑜𝑆_(𝐴𝐶) et 𝑟_𝐶 = 𝑆_(𝐴𝐶)𝑜𝑆_∆′ puis caractériser 𝑔.

On pose ℎ = 𝑟_𝐺𝑜𝑆_(𝐴𝐷) où 𝑟_𝐺 est la rotation de centre 𝐺 et d’angle ^𝜋

2. 3- a- Déterminer ℎ(𝐴) et ℎ(𝐷)

b- Montrer que ℎ est une symétrie glissante que l’on caractérisera.

4- a- Soit 𝐾 = 𝑔(𝐴), déterminer ℎ(𝐾) = 𝑀.

b- En déduire que le triangle 𝐺𝐾𝑀 est rectangle et isocèle en 𝐺.

(3)

Nom : ……….Prénom : ……….Classe : …………

Annexe I

Annexe II