Devoir synthèse N°3 Devoir synthèse N°3 Devoir synthèse N°3
Devoir synthèse N°3 1/3
Le sujet comporte 3 pages
L’espace est muni d’un repère orthonormé de sens direct ( A ; i , j , k ) .
On considère le parallélépipède ABCDEFGH tel que AB = 3 i , AD = 4 j et AE = 3 k .
1) Vérifier que AG = 3 i + 4 j + 3 k .
2) Soit les points I et J milieux respectives des arrêtes [ ] BC et [ ] EH
Soit K le point définie par : EK AB 3
= 2 . a – Déterminer les coordonnées de I et J et vérifier que K a pour coordonnées ( 2 , 0 , 3 ) .
b – Déterminer les composantes des vecteurs KI et KJ et vérifier que KI ∧ KJ = 6 i + 6 j + 6 k
3) a – Calculer l’aire du triangle IJK.
b – Calculer le volume du tétraèdre IJKG.
c – En déduire la distance de G au plan ( ) IJK .
4) Ecrire une équation cartésienne du plan ( ) IJK .
5) Soit G le point tel que ' ( ) IJK est le plan médiateur de segment [ ] GG et N le projeté ' orthogonal de G sur le plan ( ) IJK .
a – Montrer que N a pour coordonnées
3 , 4 3 , 7 3
4 .
b – En déduire les coordonnées du point G . '
Exercice N°1 : 4444,5 ,5 ,5 ,5 points points points points
3333 ème ème ème ème Maths Maths Maths Maths : M 2 Date : le 05 / 06 / 2010
Devoir de Devoir de Devoir de
Devoir de Synthèse Synthèse Synthèse Synthèse N° N° N° N° 3333
Mathématiques
Enseignant : Ghadhab Lassad
Durée : 3heures Coefficient : 4
A
B C
D E
F G
H
I
J K
i j k
0,25
0,75
0,75
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5
0,25
Devoir synthèse N°3 Devoir synthèse N°3 Devoir synthèse N°3
Devoir synthèse N°3 2/3
L’espace est rapporté à un repère orthonormé directe ( O ; i , j , k ) . On considère le plan P d’équation cartésienne : x − y + 2 z − 3 = 0 et un point A ( 1 , 2 , 3 ) .
1) Déterminer une représentation paramétrique d’une droite ∆ qui passe par A et perpendiculaire à P.
2) La droite ∆ coupe P en un point H .
a – Déterminer les coordonnées du point H.
b – Ecrire une équation cartésienne de la sphère S de centre A et tel que où ζ est un cercle de centre H et de rayon
3
= 1 r
I – Soit g une fonction définie sur [ 0 ; +∞ [ par g ( x ) = 2 − ( x 2 + 1 ) x 2 + 1
1) a – Montrer que , pour tout x ∈ [ 0 ; +∞ [ , g ' ( ) x = − 3 x x 2 + 1 . b – Dresser le tableau de variation de g.
2) a – Montrer que l’équation g ( ) x = 0 admet une solution unique α dans [ 0 ; +∞ [ .
b – Vérifier que α ∈ ] 0 , 7 ; 0 , 8 [ .
c – En déduire que : g ( ) x > 0 pour x ∈ [ [ 0 ; α et g ( ) x < 0 pour x ∈ ] α ; + ∞ [
II – On considère la fonction f définie sur [ 0 ; +∞ [ par : 1
1 ) 2
( 2 − +
= + x
x x x
f .
Soit ζ f sa courbe représentative dans un repère orthonormé R = ( O , i , j ) . ( unité 2cm) 1) a – Déterminer lim f ( x )
x → +∞ .
b – Montrer que, pour tout x ∈ [ 0 ; +∞ [ : f ' ( ) x = ( x 2 + g 1 ) ( x ) x 2 + 1 .
c – En déduire le tableau de variation de f sur [ 0 ; +∞ [ .
2) Soit D la droite d’équation y = − x + 3
a – Montrer que D est asymptote à ζ f au voisinage de + ∞ .
b – Montrer que pour tout x ∈ [ 0 ; +∞ [ on a : x − x 2 + 1 < 0 .
c – En déduire la position relative de ζ f par rapport à D . 3) a – Montrer que :
1 1 2 2
2
= +
+ α
α . ( où α est le réel trouvé dans I ) b – En déduire que f ( ) α = α 3 + 1 .
4) Tracer D et ζ f . (on prend α = 0 , 75 )
Exercice N°3 : 5555,5 ,5 ,5 ,5 points points points points
=
∩
3 , 1 H
P
S ζ
Exercice N°2 : 2 2 2 2 points points points points
0,75
0,5 0,75
I – 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 II –
0,5 0,75 0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,75
Devoir synthèse N°3 Devoir synthèse N°3 Devoir synthèse N°3
Devoir synthèse N°3 3/3
Une urne U 1 contient 7 boules indiscernables au toucher, réparties comme suit :
• 4 blanches numérotées : 0, 0, –1 , 2
• et 3 rouges numérotées : 1, 1, –1.
1) On tire simultanément et au hasard 3 boules de l’urne U 1 .
a – Quelles est la probabilité de chacun des événements suivants : A : « obtenir une seule boule blanche »
B : « obtenir exactement deux boules portant un numéro supérieur ou égale à 0 »
b – Calculer : P ( A ∪ B ) .
2) On tire successivement et sans remise 4 boules de l’urne U 1 . Quelles est la probabilité de chacun des événements suivants :
S : ″ obtenir quatre boules portant des numéros dont la somme est nulle ″ C : ″ obtenir une boule blanche au 3 ème tirage et une boule rouge au 4 ème tirage ″ 3) Une urne U 2 contient 5 boules numérotées : 0, 0, 0, 1, 1.
On tire, au hasard, une boule de l’urne U 1 puis une boule de U 2 .
On désigne par a le numéro inscrit sur la boule tirée de U 1 et par b celui de la boule tirée de U 2 . On considère P le plan complexe rapporté à un repère orthonormé R = ( ) O , u , v
Soit M un point du plan d’affixe Z = a + ib .
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : G : ″ M est un point de la droite ( O , u ) et distinct de O.″
H : ″ M est un point du cercle ζ de centre O et de rayon 2 ″
(les parties I , II et III sont indépendantes)
I – 1) Montrer que pour tout x ∈ ℕ* , n ∈ ℕ* , ( x + 1 ) n − nx − 1 est divisible par x . 2 a) En utilisant le théorème de récurrence sur l’entier n.
b) En utilisant la formule du binôme de Newton.
2) En déduire le reste de la division euclidienne de 4 2010 par 9.
II – Déterminer les nombres premiers p tels que p divise 8 p + 20 . (Utiliser le petit théorème de Fermat).
III – Soit n ∈ ℕ* \ {} 1 . On pose A = n − 1 et B = 5 n 3 + 7 n . 1) Développer : ( n − 1 ) ( 5 n 2 + 5 n + 12 ) .
2) Montrer que A ∧ B = A ∧ 12 .
3) Quelles sont les valeurs possibles de A ∧ B . 4) Pour quelles valeurs de n, le nombre
1 7 5 3
−
= + n
n
F n est-il un entier naturel ?
Exercice N°4 : 4444 points points points points
Exercice N°5 : 4444 points points points points
0,5 0,5 0,75
0,5 0,5
0,5 0,75
0,75 0,5 0,5 0,75
0,25
0,5
0,25
0,5
Mathématiques 3 ème maths
Correction devoir de synthèse N°3
1) AG = AC + CG = AB + AD + AE = 3 i + 4 j + 3 k ⇒ G ( 3 , 4 , 3 )
2) a-On a I ( 3 , 2 , 0 ) ( , J 0 , 2 , 3 ) et k ( 2 , 0 , 3 )
b- On a :
− 3 2 1 KI et
− 0 2 2
KJ
∧
⇒
−
−
−
6 6 6
2 2 0 2
2
2 1
3 2 1
KJ KI
3) a- ( ) 36 36 36 3 3
2 1 2
1 ∧ = + + =
= KI KJ IJK
aire
b- V ( IJKG ) = 6 1 dét ( KI , KJ , KG ) ( = 6 1 KI ∧ KJ ) . KG = 6 1 6 + 24 + 0 = 1 6 30 = 5
c- V aire ( ) IJK d ( G , ( ) IJK )
3
1 ×
= ⇒ d ( G , ( ) IJK ) = aire 3 ( ) V IJK = 3 3 × 3 5 = 5 3 = 5 3 3
4) Soit n = KI ∧ KJ un vecteur normal de ( ) IJK ( x y z ) ( ) IJK
M , , ∈ alors 6 x + 6 y + 6 z + d = 0
( ) ( ) IJK
I 3 , 2 , 0 ∈ alors 18 + 12 + d = 0
30 0 30
−
=
= + d
d
D’où 6 x + 6 y + 6 z − 30 = 0
5) a- On a
et
6 6 6 n
• On a alors GN et n sont colinéaires.
• ( ) IJK : x + y + z − 5 = 0 et
3 , 4 3 , 7 3 N 4
On a + + − = − 5 = 5 − 5 = 0 ⇒ N ∈ ( ) IJK
3 5 15 3 4 3 7 3 4
CORRECTION DU DEVOIR DE SYNTHÈSE N°3 CORRECTION DU DEVOIR DE SYNTHÈSE N°3 CORRECTION DU DEVOIR DE SYNTHÈSE N°3 CORRECTION DU DEVOIR DE SYNTHÈSE N°3
−
−
−
⇒
−
−
−
3 5 3 5 3 5
3 3 4 3 4 7 3 3 4
GN GN
n GN = − ×
18 5
( ) : + + − 5 = 0
⇒ IJK x y z EXERCICE N°1
EXERCICE N°1
EXERCICE N°1
EXERCICE N°1 ::::
Mathématiques 3 ème maths
Correction devoir de synthèse N°3
Conclusion :
3 , 4 3 , 7 3
N 4 est le projeté orthogonal de G sur ( ) IJK
b- ( ) IJK est le plan médiateur de [ ] GG et N le projeté orthogonal de G sur ' ( ) IJK alors N = G * G '
+ = + = + =
N G G
N G G
N G G
z z z
y y y
x x x
2 2 2
' ' '
⇒
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
3 3 1 3 2 8
3 4 2 3 2 14
3 3 1 3 2 8
' ' '
G N G
G N G
G N G
y z z
y y y
x x x
− −
⇒ 3
, 1 3 , 2 3 ' 1 G
1) Soit
− 2
1 1
n un vecteur normal de P
∆ ⊥ P ⇒ n est un vecteur directeur de P donc ∆ = D ( ) A , n .
• Soit M ( x , y , z ) ∈ ∆ si et seulement si il existe α ∈ IR tel que AM = α n
si et seulement si
+
=
−
= +
= α α
α 2 3
2 1 z y x
∈ IR α
;
2) a- M ( x , y , z ) ∈ P ∩ ∆
=
− +
− +
=
−
= +
=
0 3 2 2 3
2 1 équivaut
z y x z y x
α α α
=
− + + +
− +
+
=
−
= +
=
0 3 4 6 2
1
2 3
2 1 équivaut
α α
α α α α z
y x
−
= +
=
−
= +
=
2 6
2 3
2 2 1 équivaut
α
α α α z
y x
−
=
=
− +
=
= +
=
=
− +
=
3 1
3 7 3 3 2
3 7 3 2 1
3 2 3 1 1
équivaut
α z y x
⇒
3 , 7 3 , 7 3 H 2 EXERCICE N°2
EXERCICE N°2 EXERCICE N°2
EXERCICE N°2 ::::
Mathématiques 3 ème maths
Correction devoir de synthèse N°3
b-
=
∩
3 , 1 H
P
S ζ
alors r = R 2 − d 2 éq r 2 = R 2 − d 2 éq R 2 = r 2 + d 2 ⇒ R = r 2 + d 2
Avec ( )
6 2 4
1 1
3 6 2
, 1 =
+ +
− +
= −
= d A P d
1 6 1
4 3
1 + = =
=
⇒ R
Alors une équation du sphère S est : ( x − 1 ) ( 2 + y − 2 ) ( 2 + z − 3 ) 2 = 1
I-1) a- x a x 2 + 1 est dérivable et strictement positive sur [ 0 , +∞ [ .
Alors x a x 2 + 1 est dérivable sur [ 0 , +∞ [ Donc g est dérivable sur [ 0 , +∞ [ .
On a ∀ x ∈ [ 0 , +∞ [ alors ( ) ( )
1 2
1 2 1
2
' 2
2 2
× + +
− +
−
=
x x x
x x x
g
( )
1 1 1
2 2
2 2
+
− + +
−
=
x x x x
x
( ) ( )
1
1 1
2
2
2 2
+
+
− +
= −
x
x x x
x
( )
1 1 3
2 2
+ +
= − x
x x
= − 3 x x 2 + 1 b- x ∈ [ 0 , +∞ [ , g ' ( ) x = 0 ⇔ x = 0 Tableau de variation :
2)a- g est continue et strictement décroissante sur [ 0 , +∞ [ et g ( [ 0 , +∞ [ ) = ] − ∞ , 1 ]
Or 0 ∈ ] − ∞ , 1 ] donc g ( ) x = 0 admet une unique solution α ∈ [ 0 , +∞ [
b- on a : g ( ) 0 , 7 ≈ 0 , 18
et g ( ) 0 , 8 ≈ − 0 , 1 EXERCICE N°3
EXERCICE N°3 EXERCICE N°3 EXERCICE N°3 ::::
−∞
∞ =
+ g lim
+∞
= +
+∞
= +
+∞
→ +∞
→
1 lim
1 lim
2 2
x x
x
x ⇒
( ) 0 = 2 − 1 = 1
g
( ) ( ) 0 , 7 × 0 , 8 < 0 alors ∈ ] 0 , 7 ; 0 , 8 [
⇒ g g α
( ) x
g'
( ) x
g
x 0 + ∞
∞
− 1
−
Mathématiques 3 ème maths
Correction devoir de synthèse N°3
c- g est continue et strictement décroissante sur [ 0 , +∞ [
et g ( ) α = 0
II- a- ( ) − + = −∞
+
= +
− +
= → +∞ → +∞
+∞
→ 1
1 1 lim 2 1 1
1 lim 2 lim
2 2
x x x
x x x x
f
x x
x
Car
b- ( ) ( ) 1 2 1 1
2 2 1 2
' 2
2 2 2
+ × + −
− +
×
= x
x x x
x x
f
( )
( ) 1 1 2 1 1
2
2 2
2
2 −
+ +
−
= +
x x
x x
( ) ( )
( 1 ) 1 1 1 ( 1 ) ( ) 1
1 2 1 1
2
2 2
2 2
2 2
2
2
