OLIVIER CASTÉRA Résumé. Présentation du nombre d’Eulere.
Table des matières
1 Puissances 1
2 Logarithmes 3
3 Démonstration du théorème de Newton sur le Logarithme népérien 4
4 La démonstration de Leonhard Euler 5
1 Puissances
Définition 1.1. Nous dirons que a est élevé à la puissance n si a est multiplié par lui-même n fois :
a × a × · · · × a
| {z }
n
Cette expression est notée a
n. Propriété 1.1.
∀ a ∈ R, ∀ ( n, m ) ∈ N
∗a
n× a
m= a
n+mDémonstration. En se servant de la définition 1.1,
a
n× a
m= ( a × a × · · · × a )
| {z }
n
× ( a × a × · · · × a )
| {z }
m
= a × a × · · · × a
| {z }
n+m
= a
n+mPropriété 1.2.
∀ n ∈ N
∗, ∀ a ∈ R
∗, a
−n= 1 a
nDémonstration. ∀ (n, m) ∈ N
∗, ∀ a ∈ R
∗,
a
m× 1 a
n=
m
z }| {
a × a × · · · × a a × a × · · · × a
| {z }
n
=
m−n
z }| {
a × a × · · · × a
= a
m−nDate: 5 décembre 2020.
En se servant de la propriété 1.1,
a
m× 1
a
n= a
m× a
−n1
a
n= a
−nEt nous avons maintenant n ∈ Z
∗.
Propriété 1.3.
∀ a ∈ R
∗, a
0= 1 Démonstration. ∀ n ∈ Z
∗, ∀ a ∈ R
∗,
n
z }| {
a × a × · · · × a a × a × · · · × a
| {z }
n
= 1
Avec la propriété 1.2,
a
n−n= 1 a
0= 1
Et n ∈ Z.
Propriété 1.4.
∀ a ∈ R, ∀ ( n, m ) ∈ Z, ( a
n)
m= a
n×mDémonstration.
(a
n)
m= (
n
z }| {
a × a × · · · × a)
m= (
n
z }| {
a × a × · · · × a) × (
n
z }| {
a × a × · · · × a) × · · · × (
n
z }| {
a × a × · · · × a)
| {z }
m termes de n termes
= a
n×mPropriété 1.5.
∀ a ∈ R
+, ∀ n ∈ Z
∗ou bien ∀ a ∈ R
−, ∀ n impaire ∈ Z
∗, a
1/n= √
na
appelé racine n-ième de a.
Démonstration.
Soit A
n= a Par définition de la racine n -ième A = √
na
Or, d’après la définition 1.1 A = A
1= A
n/net d’après la propriété 1.4 = ( A
n)
1/n= a
1/nDonc a
1/n= √
na
Et n ∈ Q .
2 Logarithmes
Définition 2.1. On définit la fonction logarithme comme étant la fonction réciproque de la fonction puissance :
log
a(a
x) , x Propriété 2.1.
log
a(X × Y ) = log
aX + log
aY Démonstration. Avec la propriété 1.1 des puissances,
log
a(a
x× a
y) = log
aa
x+yEn appliquant la définition 2.1 du logarithme sur le second membre, log
a( a
x× a
y) = x + y
En appliquant de nouveau la définition 2.1 du logarithme sur le second membre, log
a(a
x× a
y) = log
aa
x+ log
aa
yEn posant X = a
xet Y = a
ynous avons,
log
a( X × Y ) = log
aX + log
aY
Propriété 2.2.
log
aX
n= n log
aX Démonstration.
log
aX
n= log
a(X × X · · · × X
| {z }
n
) En utilisant la propriété 2.1 des logarithmes,
log
aX
n= log
aX + log
aX + · · · + log
aX = n log
aX
Propriété 2.3.
a
logaX= X
Démonstration. En partant de la définition 2.1 du logarithme, log
aa
x= x
a
logaax= a
xEn posant X = a
x,
a
logaX= X
Propriété 2.4.
log
bX = log
aX × log
ba Démonstration. En utilisant la propriété 2.3,
X = a
logaXlog
bX = log
ba
logaXNous pouvons descendre l’exposant en utilisant la propriété 2.2,
log
bX = log
aX × log
ba
3 Démonstration du théorème de Newton sur le Logarithme népérien
Théorème 3.1.
ln x =
Z x
1
1 t dt
Démonstration. On dérive un logarithme de base « a » inconnue : d
dx log
ax = lim
h→0
log
a(x + h) − log
ax h
= lim
h→0
"
1
h log
ax + h x
!#
= lim
h→0
"
1
h log
a1 + h x
!#
= lim
h→0
log
a1 + h x
!1h
= lim
h→0
1
x log
a1 + h x
!hx
= 1 x lim
h→0
log
a1 + h x
!hx
= 1 x log
a
lim
h→0
1 + h x
!hx
Or,
∀ x, lim
h→0
1 + h x
!xh
≈ 2, 71828182845904523536028 nombre appelé constante d’Euler et noté e . Donc,
d
dx log
ax = 1 x log
ae Pour a = e ,
d
dx log
ex = 1
x log
ee = 1 x [log
et ]
x1=
Z x
1 1 t
dt log
ex − log
e1 =
Z x
1 1 t
dt Le logarithme de base e se notant ln, nous avons :
ln x − ln 1 =
Z x
1 1 t
dt
Il reste à démontrer que ln 1 = 0. Avec la définition 2.1, et avec la propriété 1.3 :
∀ b, log
bb
0= 0
∀ b, log
b1 = 0
Vrai ∀ b , donc pour b = e .
4 La démonstration de Leonhard Euler
Théorème 4.1.
e = 1 + x + x
22! + + x
33! + . . .
Démonstration. Euler cherche à exprimer la fonction puissance sous la forme d’un polynôme
2. Soient a, A, B, C, D, . . . des constantes, alors :
a
x= A + Bx + Cx
2+ Dx
3+ . . . D’après la propriété 1.3,
a
0= 1 ⇒ A = 1 De plus, d’après la propriété 1.4 :
a
2x= ( a
x)
21 + B (2 x ) + C (2 x )
2+ D (2 x )
3+ . . . = (1 + Bx + Cx
2+ Dx
3+ . . . )
2Développons le membre de droite :
1+2Bx +4Cx
2+8Dx
3+. . . = (1 + Bx + Cx
2+ Dx
3+ . . . ) × (1 + Bx + Cx
2+ Dx
3+ . . . )
= 1 + Bx + Cx
2+ Dx
3+ · · · + Bx + B
2x
2+ BCx
3+ . . .
· · · + Cx
2+ BCx
3+ · · · + Dx
3+ . . .
= 1 + 2 Bx + ( B
2+ 2 C ) x
2+ 2( BC + D ) x
3+ . . . En égalant les coefficients,
4 C = B
2+ 2 C ⇒ C = B
22
8D = 2(BC + D) ⇒ 3D = BC ⇒ D = B
32 . 3 ...
Nous obtenons :
a
x= 1 + Bx + B
22 x
2+ B
32 . 3 x
3+ . . .
Sous cette forme, la fonction puissance la plus simple est celle pour laquelle B = 1 : a
x= 1 + x + x
22! + x
33! + . . . et l’on peut calculer le a auquel elle correspond en posant x = 1 :
a = 1 + 1 + 1
22! + 1
33! + · · · = 2 . 718281828 . . . que l’on note e. On définit alors la fonction exponentielle par :
e
x= 1 + x + x
22! + x
33! + . . .
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1. Voir Puissances et logarithmes.pdf 2. Tangente Hors Série numéro 29
