Fonction logarithme Népérien 4

Fonction logarithme Népérien

4^ème math B.H.Hammouda Fethi

Définition :

* On appelle fonction logarithme Népérien noté Ln la fonction définie sur ^0,vérifiant :

Lnx' ¹

 x pour tout ^{x }^0,  ^et Ln 1 0 .

 La fonction Ln est la primitive de la fonction x: ¹

 x qui s’annule en 1 c.à.d.

^{x Lnx} ₁^x1dt

  t ^{, x 0.}

Propriété algébrique :

Pour tout aIR^*_ , bIR^*_ et ^n on a :

* Ln a b . Lna Lnb .

* ^{Ln 1 Lna}

   a

   .

* a

Ln Lna Lnb

  b 

   .

* ^{Ln a} ^{n nLna}

* ^Ln

 

* ^Ln

 

Limite remarquable :

* _x^lim_^{Lnx }.

* ^lim₀

x _Lnx

  

* ^lim₀ ⁰

x _xLnx

  .

* _x^{lim Lnx 0}

 x  .

* ^lim_{x 1} ^Lnx₁ ¹

 x 



*  

0

lim 1 1

x

Ln x

 x

  .

Etude de la fonction Ln :

* Posons ^{f x} ^Lnx , f est définie , continue et dérivable sur ^0, ^{et Lnx' 1 0}

 x pour tout x 0, .

 La fonction f est continue est strictement croissante donc elle réalise une bijection de

^0, sur IR..

 On a Ln 1 0 alors :*** Pour tout ^x ^{0.1 ; Lnx0.}

*** Pour tout ^{x }^1,  ^{; Lnx0.}

* Pour tout aIR^*_ , aIR^*_ ; ^{LnaLnb a b} . ^{LnaLnb a b}

* L’équation Lnx1 possède une solution unique x₀ tel que Lnx₀ 1 avec x₀e 2,718....

x0 est un nombre irrationnelle . * ^{Lnx 1  x} ^e,  ^.

* ^{Lnx 1 x}  ^0,e

* Lne1 .

Activité :

Tracer la courbe de la fonction Ln dans un repère orthonormé





Théorème :

Pour tout n * et m * on a

* _lim  ⁿ ₀

x m

Lnx

 x  .

*  

lim0 ^{m n} 0

x

x Logx

  .

Théorème :

Soit U une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I alors la fonction ^{xLn U x} 

est dérivable sur I et pour tout ^{x }^0,  ^; ^{Ln U x} ^'U_{U x}^'_{ }^{ x .}

Exemple :

Soit f la fonction définie par f x: Ln x²1. Montrer f est dérivable sur ^1, et calculer ^{f '} ^x . Théorème :

Soit U une fonction dérivable et ne s’annule pas sur I , alors la fonction  

' 

: U x

f xU x admet pour primitive la fonction f x: Ln U x k où k est une constante réelle .

Exemple :

Activité 6 page 145.

Théorème :

La fonction ^xxLnxx est une primitive de la fonction ^xLnx sur IR_^*.