2. Étude de la fonction logarithme népérien

Terminale S Fonction 2

Thème 8 – Fonction logarithme népérien

1. Définition

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur son ensemble de définition, R. De plus, limx→−∞e^x = 0 et limx→+∞e^x= +∞. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout nombre réel strictement positifx, il existe donc un unique antécédenty tel quee^y =x.

Définition 1 : Logarithme népérien d’un réel strictement positif

La fonction logarithme népérien, notéeln, est la fonction, définie sur]0; +∞[, qui à tout xstric- tement positif associe le nombre réely= lnxdont l’exponentielle estx.

Autrement dit, si x >0,ln(x) est le nombre dont l’exponentielle vautx.

Illustration : Définition du logarithme népérien

O ~ı

~

y= lnx x=e^y

Théorème 1 : Conséquence

La définition implique que :

• Pour tout nombrea etb(aveca >0), on a :

ln(a) =b équivaut àa=e^b

• ln(1) = 0et ln(e) = 1;

• Pour tout nombrexstrictement positif, e^ln(x)=x.

• Pour tout nombrex, on aln(e^x) =x.

Démonstration : La première égalité est une conséquence directe de la définition du logarithme népérien. En effet, on a définiy= lnxcomme l’unique réel tel quee^y=e^lnx=x.

Pour prouver l’autre égalité, prenons un réel quelconque x. Le nombree^x est un réel strictement positif. Par définition de la fonction logarithme népérien, son image par cette fonction est lne^x, qui vérifie donce^lnex =e^x. Or, puisque la fonction exponentielle est strictement croissante surR, cette égalité implique lne^x=x.

Théorème 2 : Relation fonctionnelle et propriétés algébriques

Soientxety deux réels strictement positifs etnun entier naturel quelconque. Alorsln(xy) = lnx+ lny,ln(^x_y) = lnx−lny etln(xⁿ) =nlnx.

Démonstration : D’après la définition du logarithme népérien, on a e^ln(xy) =xy =e^lnxe^lny = e^lnx+lny. On en déduit donc que ln(xy) = lnx+ lny. On démontre la seconde égalité de manière analogue et la troisième par

récurrence.

2. Étude de la fonction logarithme népérien

Proposition 1 : Dérivée de la fonction logarithme népérien

La fonction dérivée de la fonction ln sur]0; +∞[est la fonction inverse, définie par x7→ ¹

x.

Démonstration : Pour cette démonstration, notonsℓ la fonction définie sur ]0; +∞[ par ℓ(x) = lnxet f la fonction définie sur le même intervalle parf(x) =e^ℓ(x).

• D’une part,f(x) =e^ℓ(x)=e^lnx=x, doncf^′(x) = 1.

• D’autre part,f^′(x) = [e^ℓ(x)]^′=ℓ^′(x)e^ℓ(x)=ℓ^′(x)x

Par conséquentℓ^′(x)x= 1 et doncℓ^′(x) = ¹_x, comme annoncé.

Théorème 3 (admis) : Dérivée de la composée du logarithme et d’une fonctionu

Soit uune fonction définie sur un intervalle de R, à valeurs positives. Alors, sur cet intervalle, la dérivée de la fonction lnuest la fonction ^u_u^′.

Proposition 2 : Variations

La fonction logarithme népérien est croissante sur son ensemble de définition ]0; +∞[.

Démonstration : La fonction inverse, qui est la dérivée du logarithme népérien, est strictement positive sur l’intervalle ]0; +∞[. La fonction ln est donc bien croissante sur cet intervalle.

Proposition 3 : Signe

Le nombre lnxest négatif pour x∈]0; 1] et positif pourx∈[1; +∞[.

Démonstration : On sait que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[ et que ln(1) = 0. Par conséquent, lnxest négatif pourx∈]0; 1] et positif pourx∈[1; +∞[

Proposition 4 : Limites de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithem népérien étant la réciproque de l’exponentielle, elle admet les limites suivantes aux bornes de son ensemble de définition :

x→0limlnx=−∞et lim

x→+∞lnx= +∞.

Illustration : Tableau de signes

x lnx

0

0

1 +∞

− +

Illustration : Courbe représentative

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

−3

−2

−1O ~ı

~