Variables aléatoires continues

(1)

TD : série 3

Variables aléatoires continues

Variables aléatoires

I. Soit une variable aléatoire continue ayant une densité de probabilité définie par :

3, 1 1;

( ) 0 , .

k x si x

f x ailleurs

   

 



1) Quelle est la valeur de la constante k ?

2) Déterminer la fonction de répartition de X. En déduire la valeur de 1 1

( ); n 0

2ⁿ 2ⁿ

P  X   ^.

3) Pour tout ∈ ^∗, calculer . En déduire la valeur de et celle de . II. On choisit un nombre au hasard entre et –3 et 5.

1) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 1?

2) Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre supérieur ou égal à 3?

3) Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit strictement inférieur à 1, sachant qu’il est strictement positif ?

III. La durée de vie d'une particule radioactive peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle. Notons X la durée de vie exprimée en milliers d'années d'une particule de carbone 14, élément radioactif de demi-vie 5 700 ans (5,7 milliers d’années).

1) Déterminer le paramètre de la loi exponentielle suivie par X. En déduire la durée de vie moyenne en année d’une particule de carbone 14. (On arrondira la valeur de à 10 )

2) Quelle est la probabilité qu'une particule de carbone 14 se désintègre au bout de 10 000 ans ? 3) Sachant qu'une particule de carbone 14 ne s'est pas désintégrée au bout de 5 000 ans, quelle est la

probabilité qu'elle ne se désintègre pas dans les 10 000 années suivantes.

4) Au bout de combien d'années cette particule se désintègre-elle avec une probabilité de 0,95 ?

IV. Une usine fabrique des barres de fer. Soit X la variable aléatoire qui à toute barre extraite de la production associe sa longueur en mètres.

On admet que X soit la loi normale d'espérance 5 et d'écart-type  0, 02.

1) Calculer la probabilité pour que la longueur de la barre soit comprise entre 4,98 m et 5,0l9 m.

2) Parmi les barres ayant une longueur supérieure à 5 m, quelle est la proportion de celles qui ont une longueur inférieure à 5,019 m.

3) Déterminer le nombre réel a tel que : P



 a X   a



95%.

V. Une usine fabrique des composants mécaniques utilisés dans le montage de voitures. L’épaisseur de ces

(2)

ii. Calculer, en utilisant une approximation appropriée de la loi de , la valeur de la probabilité d’avoir au plus 2% de composants inutilisables dans les cas n=200 et n=350.

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(3)

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Variables aléatoires continues

Variables aléatoires

I. Soit une variable aléatoire continue ayant une densité de probabilité définie par :

3

, 1 1;

( ) 0 , .

k x si x

f x

ailleurs

   

  



1) La valeur de la constante k :

On a :

 

¹ ³ ¹ ³ ⁴ ¹

1 0 0

2 2 .

4 2

u k

f u du k u du k u du k



 

       

    

Pour que f(x) soit une densité il faut que

^{f x} ^{( ) 0 et}

^

^{f u du}   ^1.



  

D’où : k 2.

2) La fonction de répartition de X.

 

3 4

3 1

0 4

1 3 3

1 1

0 1

2 ( ) du 1 1 0

( ) ( ) du 2

2 ( ) du du 1 0 1

2 1 1

t t

X t

si t

u t si t

F t P X t u

u u t si t

si t



 

  

 

     

     

  

       

  

  



 

4

1 1 1 1 1

; n 0

2ⁿ 2ⁿ ^X 2ⁿ ^X 2ⁿ 2 ⁿ

P X  F  F    ^.

3) Pour tout ∈ ^∗, calculer . En déduire la valeur de et celle de .

 

   

1 0 1

3 3 3

1 1 0

0 1

4 4

1 0

( ) 2 2

2 2 1 1

4 4 4

n n n n n

n n

n

E X u f u du u u du u du u du

u u

n n n



 

  

 



 

      

 

     

 

                    

   

Il en résulte :

^{E X}   ^ ⁰ ^et ^{E X}  

²

^{ } ₆ ⁴ ² ₃

^.

II. On choisit un nombre au hasard entre et –3 et 5. Soit X la valeur obtenue ; c’est une v.a.c

uniforme sur l’intervalle

3 , 5 . Alors le fonction de répartition de X est :

(4)

2) La probabilité d’obtenir le nombre supérieur ou égal à 3 :

 ³  ¹  ³  ¹   ³ ¹ ⁶ ¹

8 4 P X    P X    F

X

  

3)

La probabilité de choisir un nombre strictement inférieur à 1, sachant qu’il est strictement

positif :

 

     

 

0 1 (1) (0) 1

1 0 0 1 (0) 5 .

X X

X

P X F F

P X

X P X F

  



    

    

 

III. La v.a X représente la durée de vie exprimée en milliers d'années d'une particule de carbone 14, elle suit une loi de Poisson de demi-vie T=5,7 milliers d’années :

1) On a par définition

  ¹

P X  T  2

,

Ce qui implique : 1 ln(2) ln(2) ln(2)

0,1216

2 5, 7

e T T

T



       

La durée de vie moyenne d’une particule de carbone 14 est 1 5, 7

( ) 8, 2234.

ln(2) ln(2) E X T





  

2) La probabilité qu'une particule de carbone 14 se désintègre au bout de 10 000 ans est :



¹⁰



¹ ¹⁰ 1 0, 2964 0, 7036 P X   e^ ^   

3) La loi de X est sans mémoire : ^P



^X ^{ }^t ^s_X __t



^^{P X}

^

^^s

^

^:^.

Ainsi donc : ^P



^X ^¹⁰_X _₅



^^{P X}

^

^⁵

^

^^e^{ }⁵^^^ln(2)^5,7 ^^^ ^^{0, 5444}

4) Cherchons une valeur d telle que : ^{P X}



^^d



^^{0,95 :}

 

^0,95

 

^{0, 05} ^d ^{0, 05}

P X d  P X d  e^^  Il en résulte : ^{ln 0, 05}

 

^{ln 20}

 

24, 6360.

0,1216

d ^{ }  ^ ^

Une particule de carbone 14 se désintègre avec une probabilité de 0,95 au bout 24 636 années . IV. X suit la loi normale d'espérance 5 et d'écart-type  0, 02.

1) La probabilité pour que la longueur de la barre soit comprise entre 4,98 m et 5,0l9 m :

 

         

   

0,02 0,019

1

4,98 5,019 0,95

0,02 0,02

0,95 1 0,95 1 1

0,95 1 1 0,8289 0,8413 1 0,6702.

P P

X

P

X

X  

 

   

 

     

  

   

          

     

     



2) Parmi les barres ayant une longueur supérieure à 5 m, quelle est la proportion de celles qui ont une longueur inférieure à 5,019 m.

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(5)

 

     

 

   

 

0

0,019 5 5,019 0

5,019 0,02

5 5

0,95 0

1 0

0,8289 0,5 1 0,5 0,6578.

P P P

P

X X X

X P X X



 



 



 



  

 

 



     

      

   

 

 



 





3) La valeur du nombre réel a tel que : ^P



^^{ }^a ^X ^{ }^ ^a



^^95%.

On a :

 

0,02 0,02

2 1

0,02 0,02 0,02

P a X a P

a X a

a a a

 

  



      







  

 

 

         

     

     

D’où :

 

95% 2

1 0,95 0,975

0,02 0,02

1,96 0,0392 0,04.

0,02

P a X a

a a

      

      



    

   

    

Remarque : On peut aboutir à ce résultat en utilisant les propriétés de la distribution de la loi normale : ^P



^^²^ ^ ^X ^{ }^ ²^



^^95%.

V. L’épaisseur des composants varie selon une loi normale de moyenne et d'écart-type , .

Tous les composants dont l’épaisseur n'est pas comprise entre 1,88 cm et 2,12 cm sont inutilisables (sont rejetés).

1) La probabilité qu’un composant choisie au hasard soit utilisable :

     

 

1,88 2,12 2, 4 2 2, 4 2, 4 2, 4

0,05

2 2, 4 1 2 0,9918 1 0,984 P X  P  X       

      

Φ t é é 0 , 1

(6)

 

       

 

 

 

 

 

 

   

 

2, 05 1,88 2,12

2, 05

1,88 2,12 1,88 2,12

1,88 2, 05

1,88 2,12

2, 4 2 1

0, 05

2, 4 2 2, 4

0, 05

1 2, 4 1 0,8413 0,9918 1

0,847

2 2, 4 1 0,9836

P X X

P X

X P X

P X

   

     

 

  

   

 

  

     

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) On choisit au hasard un lot de composants. On appelle la variable aléatoire dont la valeur correspond au nombre de composants inutilisables dans cet échantillon.

i. La loi de probabilité Y : Y est le nombre de succès (composant inutilisable) dans n répétitions d’épreuves de Bernoulli. La variable aléatoire suit alors une loi de binomiale de paramètres n et

^p ^ ^P  ^1,88 ^ ^X ^ ^2,12  ^{ } ¹ ^P ^ ^1,88 ^ ^X ^ ^2,12 ^ ^ ^0,016

^: ^~ ^{, 0,016}

  ⁿ  ^0,016  

^k

^0,984 

^{n k}

P Y k k

 



   

 

ii. La valeur de la probabilité d’avoir au plus 2% de de composants inutilisables.

 Dans le cas 200, on a 3,28 5 ; on peut approcher la loi de Y par la loi de Poisson de paramètre 3,28 ;

  200    

²⁰⁰

 3, 28 

3,28

0,0164 0,9836

!

k

k k

P Y k e

k k

 

 

    

 

D’où :

 

⁴

 

3,28 ⁴

 

0 0

3, 28

! ,766

4 0

k

k k

P Y P Y k e

k



 

      

 Pour le cas 350 , on a 5,74 5 1 5; on peut approcher la loi de Y par la loi normale de paramètre 5,74 1 2,377.

Variables aléatoires continues

TD : série 3