Variables aléatoires continues

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Variables al´ eatoires continues

Introduction

En classe de seconde, on développe le vocabulaire élémentaire des probabilités, dont on propose un bref rappel. Une expérience aléatoire, c’est à dire une expérience dont le résultat ne peut être déterminé

`

a l’avance, peut être vue comme une liste des issues possibles. Cet ensemble est appelé l’univers de l’expérience, noté Ω. Par exemple, si on lance un dé à six faces, numérotées de 1 à 6, l’univers est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Un événement est alors un sous-ensemble de Ω : par exemple {2; 4; 6} ⊂ Ω est l’événementla face est paire. Il y a deux types d’événements :

1. les événements élémentaires, ou les issues¹. Ce sont les résultats de l’expérience. Par exemple{2}.

2. les événements, comme sous-ensembles deΩou réunion des événements élémentaires.

Enfin, comme les événements sont des ensembles, on peut en faire des unions et des intersections :A∪B est l’union deAet deB, on ditAouB, etA∩Best l’intersection deAetB, on ditAetB. On notera que siA∩B=∅, on dit que les événementsAetBsont incompatibles.

Une probabilité est une fonction. On dit queP est une probabilité sur l’universΩsi 1. 0≤P(A)≤1, quel que soit l’événementAde l’universΩ;

2. P(Ω) = 1;

3. P(A∪B) =P(A) +P(B)quels que soient les ensemblesAetBtels queA∩B=∅.

Cette fonction particulière n’est pas définie surΩ(en effet un événement étant un sous-ensemble deΩ, un événement n’est pas élément deΩ). En première, on donne la définition de l’ensemble des parties d’un événement :

Définition 1 (Ensemble des parties d’un événement)

SoitEun ensemble. L’ensemble des parties deE, not´eP(E), est l’ensemble de tous les sous ensembles deE. Autrement dit,P(E) est un ensemble contenant des ensemblesAtels queA⊂E.

Exemple(s) 2

On consid`ere l’ensembleE={a;b}. Alors

P(E) ={∅;{a};{b};{a;b}}.

Autrement dit,P(E)est un ensemble dans lequel on trouve la liste des sous-ensembles deE. En tradui- sant avec le vocabulaire des probabilités,P(Ω)est un ensemble dans lequel on trouve tous les événements de l’universΩ.

Ainsi, une probabilit´e est une fonctionPdont la variable est un ensembleE∈P(Ω)et dont les valeurs sont dans[0; 1].

En classe de seconde toujours, vous avez observé la notion de modèle de probabilité. Comprenez : dire quela probabilité d’avoir un 6 avec un dé à six faces est de 1/6est la chose la moins naturelle du monde. Toujours avec l’exemple du dé à six faces, on peut considérer deux modèles :

IssuesωdeΩ 1 2 3 4 5 6

P(ω) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

1. En réalité, une issue est le résultat et l’événement élémentaire est le singleton formé par le résultat.

Par exemple, pour le dé à six faces : 3 est une issue, et{3}est un événement élémentaire

Dans ce modèle, dit équiprobable, on considère que la probabilité de toutes les issues est la même. Vous noterez que la somme des probabilités est bien égale à 1. C’est le modèle parfait : chaque événement a la même probabilité. Mais on peut décider d’un autre modèle :

IssuesωdeΩ 1 2 3 4 5 6

P(ω) 0 0 1 0 0 0

Dans ce modèle, toutes les probabilités sont nulles sauf une ! On ne peut jamais tomber sur une face sauf 3 (imaginez le dé qui roule systématiquement pour donner le résultat 3 !).

Quel est le lien avec la fonctionP qu’on a baptisé probabilité ? Une fonction peut être définie de trois manières : par son expression algébrique (f(x) = xexp(x)), par son graphe (la courbe de la fonction exponentielle par exemple), ou par un tableau de valeurs. C’est la troisième option qu’on observe ici : dans le deuxième modèle, on aP({1}) = 0etP({3}) = 1par exemple. Il y a donc plusieurs fonctions de probabilité possibles, et toutes donnent lieu à différents modèles.

Comment choisir un bon modèle ? Une première réponse est de se confronter au réel : siP({1}) = 1/6 par exemple. En réalisant un grand nombre de lancers, la fraction :

Nombre de lancers pour lesquels on tombe sur 1

Nombre de lancers

doit se rapprocher de1/6(c’est une limite). Le choix du mod`ele doit rendre compte au r´eel.

∗ ∗ ∗

En classe de première, on donne la définition d’une variable aléatoire. C’est une nouvelle fonction² qu’on note en général X ou Y c’est à dire par une lettre majuscule, dont la variable est dansΩ et les valeurs dansR. Par exemple, on lance une pièce à deux faces et on peut définir la fonctionX(toujours via son tableau de valeurs :) par

Ev´´ enementsωdeΩ Pile Face

X(ω) 4 2,4

Autrement dit, on définit la fonctionXsur l’ensembleΩ ={pile;face}parX({pile}) = 4etX({face}) = 2,4. On peut donc définir de nouveaux événements via cette fonction : {X = 4} est l’écriture de la recherche d’antécédents de4par la fonctionX, ici{X= 4}={pile}.

Comme on dispose de nouveaux événements, on peut leur donner une probabilité : on parle de la loi de probabilité de la variable aléatoire. Donnons un exemple complet :

On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6, équilibré. On observe le numéro de la face du dé.

L’univers est donc Ω ={1; 2; 3; 4; 5; 6}. SoitX la variable al´eatoire qui prend la valeur1 si la face est paire, et−1sinon. Son tableau est donc :

Issueω∈Ω 1 2 3 4 5 6

X(ω) −1 1 −1 1 −1 1

2. Oui, une variable aléatoire est une fonction : c’est donc ni une variable, ni aléatoire. Le vocabulaire utilisé a précédé la mise en théorie des probabilités. C’est pour cela que certains termes sontétranges.

(2)

Donc la variable al´eatoireX a deux valeurs :1et−1. Autrement dit X(Ω) ={−1; 1}.

Il y a donc deux événements liés à la variable aléatoire X : l’événement {X = −1} = {1; 3; 5} et {X= 1}={2; 4; 6}. On peut leur attribuer une probabilité naturellement :

P({X=−1}) =P({2; 4; 6}) =3 6 =1

2 et

P({X= 1}) =P({1; 3; 5}) =3 6 =1

2

On a donc associé à chaque événement lié une unique probabilité : c’est le fait d’une fonction, qu’on appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X. Autrement di, la loi de probabilité de la variable aléatoireX est une fonction dont la variable est un événement lié{X=r}avecrune valeur deX (ou r∈X(Ω)) et donc les valeurs sont des probabilités. Ici, la loi de probabilité de la variable aléatoireX est donnée par le tableau :

r∈X(Ω) −1 1 P({X=r}) 1/2 1/2

(3)

1 - Variables al´ eatoires continues & densit´ e de probabilit´ es

1.1 Variable al´ eatoire continue

D´efinition 3 (Variable al´eatoire continue)

SoitX une variable aléatoire sur un univers Ω. On dit queX est une variable aléatoire continue siX(Ω),ie l’ensemble des valeurs deX, est un intervalle deRou une réunion d’intervalles de Rnon réduit à un singleton.

Exemple(s) 4

On dépose une sonde qui flotte sur la mer : elle enregistre en temps réel son altitude. On déclenche aléatoirement la lecture de l’altitude de la sonde : le résultat est bien aléatoire, et il est dans un intervalle de la forme [hmin;hmax] avec hmin la plus petite hauteur des vagues ethmax la plus haute.

Si on désigne parX la variable aléatoire qui donne la hauteur de la sonde obtenue avec l’expérience, l’ensemble de ses valeurs est l’intervalle [hmin;hmax] : c’est bien une variable aléatoire continue.

1.2 Densit´ e de probabilit´ e

Définition 5 (Fonction densité/densité de probabilité)

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b]. On dit que f est une densité de probabilité (ou une fonction densité) sur [a;b] si

1. f est continue sur [a;b] ; 2. f est positive sur [a;b] ; 3.

Z b a

f(x)dx= 1.

Exemple(s) 6

1. Soit f : x 7→ 0,5 d´efinie sur [0; 2]. La fonction f est continue sur [0; 2] (c’est une constante), elle est positive sur [0; 2] (en effetf(x) = 0,5≥0 quel que soit le r´eelx), et

Z 2 0

f(x)dx= Z 2

0

0,5dx=

0,5x x=2

x=0

= 0,5×2−0,5×0 = 1.

Doncf est bien une densit´e de probabilit´e sur [0; 2].

2. Soit g : x 7→ e^x

e^π−eê définie sur [e;π]. La fonction g est continue sur [e;π], elle est positive sur [e;π] (car la fonction exponentielle est positive surR et que e≤π impliqueeê≤e^π par croissance de la fonction exponentielle surR). Enfin

Z π e

g(x)dx= Z π

e

e^x

e^π−e^edx= 1 e^π−e^e

Z π e

e^xdx= 1 e^π−e^e

e^x

^x=π

x=e

= e^π−eê e^π−eê = 1 doncg est bien une densité de probabilité sur [e;π].

3. Soith:x7→ x² R4

3 t²dt d´efinie sur [3; 4]. On notera que Z 4

3

t²dtest une constante, dont

3

(4)

la valeur est

Z 4 3

t²dt= t³

3 ^t=4

t=3

=4³−3³

3 = 37

3 . Donc, quel que soit le r´eel xdans [3; 4]

h(x) = x² 37 3

=3x² 37

et donc la fonction hest bien continue et positive sur [3; 4].

On a Z 4

3

h(x)dx= Z 4

3

3x²

37 dx= 3 37

Z 4 3

x²dx= 3 37

x³ 3

^x=4

x=3

= 3 37 ×37

3 = 1 donchest bien une fonction densit´e sur [3; 4].

Noter que

Z 4 3

h(x)dx= Z 4

3

x² Z 4

3

t²dt

dx= 1

Z 4 3

t²dt

× Z 4

3

x²dx= 1

en effet dans cette intégrale, on divise la fonction par l’intégrale qu’on va calculer : on norme l’intégrale. On peut généraliser : sigest continue et positive sur [a;b], alors

f :x7→ g(x) Z b

a

g(t)dt

est une densit´e de probabilit´e sur [a;b].

4. Soiti:x7→ 1

x sur [3; 3e]. La fonctioniest bien continue et positive sur [3; 3e] et Z 3e

3

dx x =

lnx

x=3e x=3

= ln(3e)−ln(3) = ln3e

3 = lne= 1.

Donciest bien une fonction densit´e sur [3; 3e].

A noter qu’on peut g´en´eraliser, les fonctions j :x7→ 1

x

sur [a;ae] aveca∈R^∗₊ sont des fonctions densit´es sur [a;ae].

Remarque(s) 7

On rencontrera plusieurs fois des densités qui ne respectent pas cette définition : on peut définir des densités surR, et dans ce cas il faut considérer l’intégrale

Z +∞

−∞

f(x)dx.

On parle d’intégrale généralisée ou d’intégrale impropre : ce n’est pas au programme, vous n’avez pas à connaˆıtre ce qui est indiqué dans cette remarque. L’approche est la suivant : sif est une fonction continue sur [a; +∞[ aveca∈R, si

b→+∞lim Z b

a

f(x)dx

existe et est une limite finie, on dit que l’int´egrale est convergente et on note lim

b→+∞

Z b a

f(x)dx= Z +∞

a

f(x)dx

Si la limite infinie, on dit que l’intégrale est divergente de première espèce, et si la limite n’existe pas, on dit que l’intégrale est divergente de deuxième espèce.

On ne rencontrera que le premier cas. Pour une int´egrale entre−∞et +∞, on utilisera la relation de Chasles

Z +∞

−∞

f(x)dx= Z a

−∞

f(x)dx+ Z +∞

a

f(x)dx et on pourra appliquer la premi`ere approche dans chaque int´egrale.

(5)

1.3 Variable al´ eatoire continue ` a densit´ e

Définition 8 (Variable aléatoire continue à densité)

SoitXune variable aléatoire aléatoire etf_X une densité de probabilité sur [a;b]. On dit queX est une variable aléatoire continue de densité de probabilitéf_X (ou une variable aléatoire à densité) si

∀x1∈[a;b], ∀x2∈[a;b] tel quex₁≤x₂, P({x1≤X ≤x₂}) = Z x2

x₁

f_X(t)dt.

Remarque(s) 9

L’ensemble de d´efinition de fX est l’ensemble des valeursX(Ω) deX. On peut observer le principe de la d´efinition dans l’illustration ci-dessous :

Par opposition, une variable aléatoire non continue sera qualifiée de discrète.

Proposition 10

SoitX une variable aléatoire continue à densité sur l’intervalle [a;b].

1. Quel que soit le r´eel c∈[a;b], P({X=c}) = 0.

2. Les probabilités des événements liés {x1 ≤ X ≤ x2} sont identiques, que les inégalités soient larges ou strictes (ie qu’on utilise ≤ ou <, ou qu’on utilise ≥ ou>).

3. P({a≤X ≤b}) = 1.

D´emonstration : Point par point.

1. On a

P({X =c}) =P({c≤X ≤c}) = Z c

c

fX(t)dt= 0.

2. C’est une caractéristique de l’intégrale : on peut épointer (c’est à dire retirer un point) dans l’intervalle d’intégration (car l’intégrale d’une fonction sur un singleton est nulle).

3. C’est trivial :

P({a≤X ≤b}) = Z b

a

fX(t)dt= 1 carf_X est une densit´e de probabilit´e sur [a;b].

Remarque(s) 11

On rencontrera des lois continues sur R, ce qui autorise la d´efinition de nouveaux

événements liés. Par exemple,

{X ≤3}={−∞< X≤3}

et donc

P({X≤3}) = Z 3

−∞

fX(x)dx.

(6)

1.4 Esp´ erance

Définition 12 (Espérance d’une variable aléatoire continue à densité)

Soit X une variable aléatoire continue à densité, de densité fX sur l’intervalle [a;b].

L’esp´erance deX est le r´eel

E[X] = Z b

a

xf(x)dx.

Remarque(s) 13

1. C’est une généralisation naturelle de l’espérance d’une variable aléatoire donnée en classe de 1^`êre. Avec un exemple de première : on jette un dé à six faces équilibré et on observe le numéro de la face. Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la face est paire et 0 sinon. La variable aléatoireX est donc donnée par

Issueω de Ω 1 2 3 4 5 6 X(ω) 0 1 0 1 0 1 et donc sa loi est

ValeursrdeX(Ω) 0 1

P({X =r}) 3/6 = 1/2 3/6 = 1/2 L’esp´erance deX est alors

E[X] = 0×P({X= 0}+ 1×P({X = 1}) = 0×1

2+ 1×1 2 = 1

2.

Autrement dit, si on réalise un grand nombre de fois l’expérience, la valeur moyenne de la valeur aléatoireX est 1/2.

Comment on calcul l’esp´erance ? On somme le produit des valeurs de la variableX par leurs probabilit´es. Avec le symbole Σ :

E[X] =

n

X

k=1

rkP({X =rk}) avecX une variable al´eatoire qui prendnvaleurs r₁,r₂ etc.

On considère maintenant une variable aléatoire Y à densité sur [a;b] et on observe les formules :

Variable al´eatoire discr`ete : E[X] =

n

X

k=1

rk × P({X=rk}) Variable al´eatoire continue : E[Y] =

Z b a

x × fY(x) dx Dans les deux cas, on retrouver unesommedu produit de la valeur deX par sa

probabilité / densité de probabilité.

2. L’espérance d’une variable aléatoire continue et à densité est bien linéaire elle aussi.

Autrement dit, quel que soit le réela, quels que soient les variables à densitéX etY E[aX+Y] =aE[X] +E[Y].

Exemple(s) 14

1. SoitX une variable aléatoire continue sur [0; 1] de densité de probabilitéfX(x) = 1.

On a

E[X] = Z 1

0

tf_X(t)dt= Z 1

0

t×1dt= t²

2 ^t=1

t=0

=1 2

2. SoitY une variable aléatoire continue sur [0;π] de densité de probabilitéfY(x) = 2 π²x.

On a

E[Y] = Z π

0

tf_Y(t)dt= Z π

0

2t²

π²dt= 2 3π²

Z π 0

3t²dt= 2 3π²

t³

^t=π

t=0

= 2π³ 3π² =2π

3

(7)

2 - Des lois classiques

2.1 Loi uniforme U ([a; b])

2.1.1 D´ efinition de la loi

D´efinition 15 (Loi uniforme)

SoitXune variable aléatoire continue à densité. On dit queX suit une loi uniforme sur [a;b] (aveca < b deux réels) si sa densité est

fX(x) = 1

b−a, ∀x∈[a;b].

Remarque(s) 16 Deux points.

1. Une telle fonction est parfois appel´ee fonction porte. On donne la courbe repr´esentative ci-dessous :

Comme l’int´egrale de la fonction nulle est nulle, on peut d´efinir les fonctions portes

surR. Une premi`ere proposition est la suivante :

fX(x) =







0 si x < a 1

b−a si a≤x≤b 0 si x > b

La suite de ce point de la remarque est hors programme. L’´ecriture ci-dessus est lourde, on peut utiliser des fonctions particuli`eres : les indicatrices. Soit [a;b] un intervalle et

1[a;b](x) =

1 si a≤x≤b 0 sinon

On peut donc d´efinir la densit´e surRvia

f_X(x) =1[a,b](x)× 1 b−a.

2. On note parfois X ∼ U([a, b]) pour indiquer que X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a;b].

Exemple(s) 17

La variable al´eatoireX de densit´efX(x) = 0,2 sur [10; 15] suit un loi uniforme sur [10; 15].

En effet, aveca= 10 etb= 15 on a f_X(x) = 0,2 = 1

5 = 1

15−10 = 1 b−a.

Proposition 18

SoitX une variable aléatoire continue à densité qui suit une loi uniforme sur [a;b]. Quels que soient les réelsx1< x2 dans l’intervalle [a;b],

P({x1≤X ≤x2}) = x2−x1

b−a .

7

(8)

D´emonstration :

On va employer la définition de la probabilité donnée en (8). On a P({x1≤X ≤x2}) =

Z x₂ x₁

fX(t)dt

= Z x₂

x1

1 b−adt

= t

b−a t=x2

t=x₁

= x₂

b−a− x₁ b−a

= x2−x1

b−a

Remarque(s) 19

1. La preuve ci-dessous est au programme. Vous devez ˆetre capable de la refaire.

2. On peut justifier le caractèreuniforme: siX suit une loi uniforme sur [a;b], quel que soit le réel x∈[a;b] et quel que soit le réelc tel quex+c∈[a;b]

P({x≤X ≤x+c}) = (x+c)−x b−a = c

b−a

autrement dit, la probabilité d’être dans un intervalle dépend de la longueur de l’intervalle, pas de sa positions dans [a;b]. Les probabilités sont donc toutes semblables pour des intervalles de longueurs identiques, d’où le caractère uniforme.

Exemple(s) 20

1. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [10; 400]. Déterminons la probabilité que X soit entre 30 et 40 : on aa= 10,b = 400,x₁= 30 et x₂ = 40 et donc

P({30≤X ≤40}) = 40−30 400−10= 10

390 = 1 39. 2. SoitY une variable al´eatoire qui suit une loi uniforme sur [1; 10]. On a

P({4≤X ≤4,5}) =4,5−4 10−1 = 0.5

9 = 1 18.

2.1.2 Esp´ erance

Th´eor`eme 21

SoitX une variable aléatoire continue et à densité qui suit une loi uniforme sur [a;b].

Alors

E[X] =a+b 2 . D´emonstration :

E[X] = Z b

a

xfX(x)dx= Z b

a

x× 1

b−adx= 1 b−a

x² 2

x=b x=a

= b²−a² 2(b−a) et commeb²−a²= (b−a)(b+a), on a le r´esultat annonc´e en simplifiant.

Exemple(s) 22

SoitX une variable al´eatoire qui suit une loi uniforme sur [4; 40]. Alors E[X] = 40 + 4

2 = 22.

2.1.3 Simulation num´ erique

La loi uniforme sur [a;b] modélise un tirage aléatoire d’un nombre réel entreaetb. Avec la fonction aléatoirerandom.random()par exemple (ou toute fonction aléatoire d’algo- rithmique), on peut générer une première illustration : on demande au logiciel Python de déterminer 100 nombre aléatoires entre 0 et 1 et on affiche le résultat :

(9)

Dans le graphe ci-dessus, on a en abscisse le numéro du nombre aléatoire réalisé entre 0 et 100 et en ordonnée sa valeur entre 0 et 1. On ne voit rien !

L’idée est la suivante : lorsqu’une variable aléatoire suit une loi uniforme, la probabilité d’être dans un intervalle peut être déterminée. On découpe l’intervalle [0; 1] en 5 intervalles (c’est exemple, on peut prendre 3, 10 ... intervalles, c’est arbitraire) : [0 : ¹₅], [¹₅;²₅], ... et [⁴₅; 1]. On parle de classes. Ici, la probabilité d’être dans chaque classe est la même en théorie :P({0≤X ≤1/5}) =P({1/5≤X≤2/5}) =.... On peut utiliser une coloration en fonction de la classe pour illustrer le principe :

On peut ainsi augmenter le nombre de nombre aléatoire, ci-dessous une illustration pour N= 1000 (en abscisse le numéro du nombre aléatoire et en ordonnée sa valeur entre 0 et 1) :

Il reste `a compter le nombre de nombres al´eatoires dans chaque classes.

Pour chaque nombre aléatoire entre 0 et 1, on va regarder dans quelle classe il est et augmenter un compteur. On affiche les résultats dans un tableau ci-dessous, dans chaque colonne pourN points dans [0; 1] on donne la fréquence de points dans la classe :

Classe

0;¹₅ ₁

5;²₅ ₂

5;³₅ ₃

5;⁴₅ ₄

5; 1 N= 10 0,4 0,1 0,3 0,1 0,1 N = 100 0,22 0,21 0,23 0,16 0,18 N = 1 000 0,183 0,202 0,205 0,207 0,203 N = 10 000 0,1996 0,1967 0,2041 0,1998 0,1998

LorsqueN - le nombre de nombres aléatoires pris dans [0; 1] - augmente, les fréquences se rapprochent toutes de 0,2 = ¹₅ = P({X ∈ [0;¹₅]}) etc. Autrement dit, pour N très grand, il y autant de nombres aléatoires dans chaque classe. Et comme ceci est vrai pour toutes les classes, on retrouve le caractère uniforme de la loi.

(10)

2.2 Loi normale N (0; 1)

L’idée ici est de construire une nouvelle loi via la loi binomiale. L’intérêt, autre que mathématique, est informatique : les logiciels ne sont pas omniscients, et ce genre de construction permet de faire des simulations plus simplement (en vulgarisant : on a une loiAqu’on peut simuler facilement avec un algorithme. Même siB est une loi complexe, si on peut faire un lien entreAet B on pourra simulerB à partir deA).

2.2.1 Le th´ eor` eme de Moivre-Laplace

Le théorème de Moivre-Laplace est bien au programme, mais il est délicat à comprendre.

On propose, après l’énoncé du théorème,

Th´eor`eme 23 (de Moivre-Laplace)

Soientnun entier naturel,p∈]0; 1[ etXnune variable al´eatoire qui suit une loi binomiale de param`etre (p;n). Avec

Z_n= X_n−np pnp(1−p)

alors

n→+∞lim P({x1≤Zn≤x2}) = Z x₂

x₁

√1 2πe⁻

x² 2 dx.

D´emonstration :

Admise. C’est un peu complexe, mˆeme si on peut approcher la preuve en terminale.

Analysons le th´eor`eme.

On commence par se donner un ensemble de lois binomiales de même paramètrep. Dans la suite, le nombre d’épreuves de Bernoulli naugmente. On observe dans un diagramme en bâton différentes simulation de loi binomiale : en abscisse on indique la valeur prise par Xn (entre 0 etn) et en ordonnée le nombre de fois que cette valeur est prise

∗ pour n= 10,p= 1/2

∗ pourn= 100, p= 1/2

∗ pourn= 200, p= 1/2

(11)

On constate que le sommet des bâtons du diagramme s’alignent le long d’une courbe : c’est cette courbe qui est au cœur du théorème.

Mais ce n’est pas la variable aléatoireXnqui intervient dans le théorème : c’est la variable aléatoire Zn. On rappelle que si Xn suit une loi binomiale de paramètre (p;n) alors son espérance est E[Xn] = np et sa variance est V[Xn] = np(1−p). On désigne par σ[Xn] =p

V[Xn] l’´ecart-type de la variableXn. On a donc

Zn= Xn−E[Xn] σ[X_n] .

Il y a deux opérations. Premièrement, en calculant Xn −E[Xn], on retire à Xn son espérance (c’est à dire sa moyenne). On parle de centrage :

VariableXn avant centrage VariableXn apr`es centrage Autrement dit, on centre la variable autour de 0, en effet

E[Xn−E[Xn]] =E[Xn]−E[E[Xn]] par linéarité de l’espérance

=E[X_n]−E[X_n]

= 0.

Deuxièmement, on divise parσ[X_n] l’écart-type. On parle de réduction. Le réelσ[X_n] est une mesure de la dispersion : plus les données d’une série sont très inégalement distribuées autour de la moyenne, plusσ[X_n] augmente. En divisant par l’écart-type, on norma- lise les données : c’est comme si elles étaient dispersées de la même manière. On peut montrer que :

σ[Zn] = 1.

Le procédécentrer réduireconsiste donc ànormaliserles lois binomiales.

Dans le théorème de Moivre-Laplace, on passe à la limite dans la probabilité P({a≤Zn≤b}).

D’après le théorème, cette limite existe et est finie (c’est l’intégrale) : doncpourntrès grand

P({x₁≤Z_n ≤x₂})≈ Z x2

x1

1 2√

2πe⁻^x

2

2 dx.

Cette écriture fait penser à la définition d’une variable aléatoire continue à densité, avec ici la densité

fZ_n :x7→ 1 2√

2πe⁻

x² 2 .

(12)

2.2.2 D´ efinition de la loi

D´efinition 24 (Fonction gaussienne)

Soient µ ∈ R et σ > 0. On appelle fonction gaussienne (ou fonction de Gauß) les fonctions de la forme

g_µ;σ:x7→ 1

√

2πσ²e⁻

(x−µ)² 2σ²

d´efinie surR.

Exemple(s) 25

On donne la courbe repr´esentative de g0;1

On a

g0;1(x) = 1

√

2π×1²e⁻

(x−0)² 2×1² = 1

√ 2πe⁻

x² 2 .

C’est une fonction strictement positive sur R, paire, croissante strictement sur R₋ et d´ecroissante strictement surR₊. Elle admet un maximum en 0 qui est

g0;1(0) = 1

√2π. Remarque(s) 26

On verra plus tard dans le cours l’influence deµet σsur l’allure de la courbe deg_µ;σ

Définition 27 (Loi normale centrée réduite)

SoitX une variable aléatoire continue. On dit qu’elle suit la loi normale centrée réduite si elle est à densité et que sa densité est

fX :x7→ 1

√ 2πe⁻

x² 2 .

On noteX ∼N (0; 1).

Remarque(s) 28

SiX suit la loi normale centrée réduite, alors sa fonction densité est définie surRet f_X(x) =g_0;1(x), ∀x∈R.

Les difficult´es commencent : on sait que la fonction x7→e^−x² admet des primitives sur R, mais on ne peut pas les exprimer en fonction des fonctions usuelles. Donc on peut pas, pour le moment, calculer

Z x₂ x1

√1 2πe⁻

x² 2dx.

Proposition 29

SoitX une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée-réduite.

1. P({X≤0}) =P({0≤X}) = 0,5 ; 2. Pour tout r´eel a,

P({X ≤ −a}) =P({a≤X}) 3. Pour tout r´eel a≥0,

P({−a≤X≤a}) = 1−2P({X≥a})

= 2P({X≤a})−1 Remarque(s) 30

Il est difficile de démontrer le théorème : les intégrales ici sont impropres. On va toutefois donner une interprétation géométrique des affirmations, point par point.

1. La fonction densitéfXde la variable aléatoireX qui suit la loi normale centrée-réduite est paire. Que que soit le réel strictement positifα:

Z 0

−α

f_X(x)dx= Z α

0

f_X(x)dx.

(13)

Géométriquement, si les intégrales existent, il semble bien naturel que Z 0

−∞

fX(x)dx= Z +∞

0

fX(x)dx.

Comme Z +∞

−∞

f_X(x)dx=P({X ∈Ω}) = 1, le r´esultat respecte l’intuition. En illustrant :

2. De même, le résultat est géométrique et lié à la parité. En illustrant :

3. On peut utiliser la relation de Chasles et la sym´etrie pour d´emontrer le dernier point.

D’une part, d’apr`es le point 2 (par sym´etrie) :

P({X ≤ −a}) +P({X ≤a}) = 2P({a≤X}).

D’autre part,

P({X ∈R}) = Z +∞

−∞

fX(t)dt= 1.

Géométriquement, si on retranche l’aire donnée par{X ≤ −a} et {a≤X} à l’aire totale, on obtient l’aire donnée par{−a < X < a}. On aurait

P({−a≤X ≤a}) = 1−[P({X ≤ −a}) +P({a≤X})]

= 1−2P({a≤X}) En illustrant :

4. En outre. La loi normale centrée-réduite est bien... centrée et réduite ! Autrement dit, siX ∼N (0; 1) alorsE[X] = 0 etσ[X] = 1.

2.2.3 Estimation de P ({x

₁

≤ X ≤ x

₂

})

Avec le th´eor`eme de Moivre-Laplace

Cette sous-section est optionnelle : elle n’est qu’une application du th´eor`eme de Moivre- Laplace dans le cadre de l’algorithme, mais ce n’est pas du tout un exercice qu’on peut rencontrer en examen.

Comme on l’a indiqué, on ne peut pas calculer directement l’intégrale d’une fonction de Gauß. Le théorème de Moivre-Laplace offre une première estimation. Soient N un entier

(14)

très grand, X_N ∼ B(p;N) et Y ∼ N (0; 1), alors d’après le théorème de Moivre- Laplace

P({x1≤Y ≤x₂}) = Z x₂

x₁

√1 2πe⁻^x

2

2 dx≈P (

x₁≤ X_N−N p pN p(1−p)≤x₂

)!

.

On a

x1≤ XN −N p

pN p(1−p) ≤x2⇔x1

pN p(1−p)≤XN −N p≤x2

pN p(1−p)

⇔x1

pN p(1−p) +N p≤XN ≤x2

pN p(1−p) +N p

On note, pour simplifier,y1 =x1

pN p(1−p) +N p et y2 =x2

pN p(1−p) +N p. On a bien

P (

x₁≤ XN−N p pN p(1−p)≤x₂

)!

=P({y₁≤X_n ≤y₂}).

La suite est donn´ee en pseudo langage. On sait simuler une loi binomiale de param`etre (p;N), via l’algorithme :

Binomiale(N, p)=C DemanderN C←0

Pour I allant de 1 `aN X←nombre al´eatoire

Si X < p C←C+ 1 Fin Si Fin Pour Donner(C)

On peut noter que la variablepn’a aucun intérêt ici : on centre et on réduit la variable X. On va simuler un grand nombre T de réalisations de loi binomiales, et compter les réalisations dont les valeurs sont entrey₁ et y₂ :

Estimation(T, N, p, x1, x2) =R DemanderT, N, p, x1, x2

R←0 Y1←x₁p

N p(1−p) +N p Y2←x2

pN p(1−p) +N p Pour J allant de 1 `a T C←Binomiale(N, p)

Si Y1≤C≤Y2 R←R+ 1 Fin Si Fin Pour R←R/T Donner(R)

Avec le logiciel Python, en r´ealisant les probabilit´es avecT = 500 simulations, on trouve pourN = 500 etp= 0,5

Z 1

−1

√1 2πe⁻^x

2

2 dx≈0,666.

Le résultat manque de précision : on trace ci-dessous l’estimation de l’intégrale entre x₁=−1 etx₂= 1 en fonction deN le nombre d’épreuves de Bernoulli

(15)

On observe une convergence assez mauvaise : les points restent dans un rectangle de hauteur non négligeable. On pourrait augmenter la précision des probabilités en augmen- tantT, mais il y a deux boucles enchaˆınées et il y a doncT×N calculs. AugmenterT ou N, c’est augmenter le nombre de calculs et donc le temps de calcul. On peut démontrer (et on va l’admettre) que

Z 1

−1

√1 2πe⁻^x

2

2 dx≈0,6827.

On va mettre une coloration dans le précédent graphe : si l’estimation de l’intégrale est à 10⁻²près bonne, on utilise une couleur verte, sinon une couleur rouge. On obtient :

On peut enfin estimer, àN = 100 fixé, le nombre de simulation convenables à 10⁻² près : seulement 2% des estimations le sont ! PourN = 300, 32% des estimations sont bonnes à 10⁻² près et pourN = 500 il y a 35% d’estimations convenables.

Avec la machine `a calculer

On donne la procédure avec une Casio uniquement : on veut estimer à la machine à calculerP({a≤X ≤b}) aveca < b et X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée-réduite. Pour entrer dans le menu lois et probabilités, rendez-vous dans stat

SélectionnerDISTavecF5(comme distribution en anglais, c’est à dire répartition), et ensuiteNORM(comme normal... ) avecF1. Vous avez trois choix :

1. Npd:normal punctual distribution. Ici, cette fonction donne les valeurs de la densit´e d’une loi normale. Ce n’est pas ce qu’on cherche.

(16)

2. Ncd : normal cumular distribution. Cumuler les valeurs, c’est faire une somme et une somme continueest une int´egrale : c’est cette fonction qu’on utilise. Elle va estimer l’aire sous la courbe de la densit´e.

3. InvN:Inversion Normal. Cette fonction est très intéressante, on l’utilisera plus tard : elle répond à la question connaissant la probabilité, qu’elles sont les valeurs entre lesquelles se trouve la variable aléatoire ?.

On va utiliser le deuxi`eme choix : appuyer surF2. Vous obtenez :

Il y a quatre éléments à renseigner :

1. Lower : qu’on peut traduire enborne inf´erieure.

2. Upper: laborne sup´erieure.

3. σ : c’est bien l’´ecart-typeσ[X] de la variableX. Ici on entre 1.

4. µ: c’est l’esp´eranceE[X] de la variable, on entre 0.

La fonction va donc calculer l’aire ci-dessous :

Exemple(s) 31

On veut estimerP({−1≤X ≤3}) `a la machine `a calculer. On entre :

et on obtient

DoncP({−1≤X≤3})≈0,839.

On donne un deuxi`eme exemple, pour estimer les probabilit´es de la formeP({X ≥x1}).

Exemple(s) 32

EstimerP({X ≥1}) avecXune variable aléatoire qui suit une loi normale centrée-réduite.

On ouvre à nouveau la fonction Ncd. L’événement {X ≥1} peut s’écrire {1 ≤ X <

+∞}: en observant la courbe de la gaussienne, on constate que celle-cis’écrase rapide- mentsur l’axe des abscisses. On peut donc négliger une partie de l’intégrale, sans risque d’approximations douteuses de la probabilité.

Autrement dit, on va consid´erer que

P({1≤X <+∞}) =P({1≤X ≤1 000})

par exemple. En vulgarisant, on réalise l’infini avec la machine à calculer avec un nombre très grand. Mais on verra plus tard que réaliser l’infini pour une loi normale n’est pas si difficile.

Bref, on entre

et la machine `a calculer donne

(17)

Bref,

P({1≤X})≈0,159.

2.2.4 Inversion de la loi normale centr´ ee-r´ eduite

On se donne une variable aléatoire X qui suit une loi normale centrée-réduite. On suppose que l’on connait P({a ≤X ≤ b}) = 1−α, d’inconnue a et b. Autrement dit, on connait la valeur de l’intégrale, et on cherche les bornes de l’intégrale pour obtenir ce résultat.

On va simplifier le probl`eme : on chercheu_αun r´eel positif tel que P({−uα≤X ≤uα}) = 1−α

avecα∈]0; 1[. En illustrant :

Encore une fois, ici on connait 1−α (pour fixer les id´ees, 1−α = 0,95 et donc α = 1−0,95 = 0,05). D’apr`es la proposition (29)

P({−u_α≤X ≤u_α}) = 2P({X ≤u_α})−1.

Le probl`eme revient donc `a chercheruαtel que

P({−uα≤X ≤uα}) = 1−α⇔2P({X ≤uα})−1 = 1−α

⇔P({X≤u_α}) = 1−α 2.

Le probl`eme P({X≤a}) =k

Th´eor`eme 33

Soient k∈]0; 1[ etX une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée-réduite. Il existe un uniquement réelatel queP({X ≤a}) =k.

D´emonstration : Admise.

Le théorème assure l’existence et l’unicité, mais il ne donne pas la solution.

Inversion de la loi normale avec la machine `a calculer

On ouvre le menu statistique et distribution, et on fait le choix de la loi normale (NORM). PrendreInvNpour inverser la loi normale. On a l’´ecran suivant :

La premi`ere ligne renseigne la forme de l’int´egrale :

Left Center Right

{X ≤a} {−a≤X≤a} {a≤X}

Oui... Votre machine à calculer peut déterminer directement le réel u_α sans utiliser la formule du théorème (29). Vous pourrez le faire directement en exercice, sauf si vous êtes invité à utiliser ce résultat. Reprenons.

Avec :

1. Tail: qu’on peut traduire parle bout, qu’on vient de voir ;

2. Area: c’est à dire l’aire, c’est donc la probabilité 1−αqu’on connait ; 3. σ : c’est toujours l’écart-type de la variableX, ici 1 ;

4. µ: l’esp´erance deX, qui est nulle ici.

(18)

Exemple(s) 34

On considère la variable aléatoireX qui suit une loi normale centrée-réduite. On cherche u0,05tel que

P({−u0,05≤X≤u_0,05}) = 0,95.

On a bien 1−α= 0,95ie α= 0,05, ce qui justifie l’´ecriture.

Premi`ere solution. En utilisant directement la machine `a calculer, en utilisant la fonction InvNet en entrant :

on obtient

Autrement dit,

P({−1,96≤X≤1,96})≈0,95 ou encoreu_0,05≈1,96.

Deuxième solution. En employant le théorème (29). On a Remarque(s) 35

Pourquoi utiliser le th´eor`eme (29) ?

Il n’y a pas encore si longtemps, les machines `a calculer n’avaient pas de fonctions adapt´ees pour la recherche deu_α. On donnait (et on donne encore !) des tables d’inversions.

En voici un exemple : on cherchextel queP({X≤1,29}). Le tableau est à deux entrées : 1,29 = 1,2 + 0,09, à l’intersection de la ligne 1,2 et de la colonne 0,09 on trouve la probabilité

DoncP({X≤1,29})≈0,9015.

En ramenant les probl`emes `a la recherche de P({X ≤ x}) on peut utiliser une seule table.

(19)

2.3 Loi normale N (µ, σ)

2.3.1 D´ efinition de la loi

D´efinition 36 (Loi normale)

SoitX une variable aléatoire continue et à densité. On dit que X suit une loi normale d’espéranceµ∈Ret d’écart-typeσ∈R^∗₊si la variable aléatoire

Z =X−µ σ suit une loi normale centr´ee r´eduite.

Remarque(s) 37

1. On retrouve le principe de centrage-réduction du théorème de Moivre-Laplace :X−µ est centrée (on retire l’espérance) et en divisant parσon réduit. Autrement dit,

Z =X−µ

σ ⇔X =σZ+µ

c’est à dire qu’on peut obtenir X après¹ une déréduction de facteur σ et un

décentragedeµd’une loi normale centrée-réduite.

2. Attention, il y a deux notations dans la littérature. Soit on désigne une loi normale par son espérance et son écart-typeσ, soit par son espérance et sa varianceσ². Dans la pratique, pour répondre à cette confusion possible et gênante, on précise toujours si le réel strictement positif donné est la variance ou l’écart-type.

Dans ce cours, on noteraX ∼N (µ;σ) pourX suit une loi normale d’esp´eranceµ et d’´ecart-typeσ.

3. SiX ∼N (µ;σ) alors

E[X] =µet σ[X] =σ.

2.3.2 Calculer P ({x

₁

≤ X ≤ x

₂

})

Avec un changement de variable et la machine `a calculer

SoitX une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espéranceµet d’écart-type σ.

Par d´efinition, la variable al´eatoire

Z =X−µ σ .

1. Et l`a je vais utiliser une terminologie qui ne veut rien dire !

Soientx₁≤x₂ deux r´eels, alors

x1≤X ≤x2⇔x1−µ≤X−µ≤x2−µ

⇔ x₁−µ

σ ≤ X−µ

σ ≤x₂−µ σ

⇔ x₁−µ

σ ≤Z≤ x₂−µ σ et donc

P({x1≤X ≤x2}) =P

x1−µ

σ ≤Z≤ x2−µ σ

.

On peut calculer la seconde probabilité connaissant les valeurs des probabilités de la loi normale centrée-réduite.

Exemple(s) 38

On veut estimerP({1 ≤X ≤3}) avec X qui suit une loi normale d’esp´eranceµ= 2 et d’´ecart-typeσ=e.

On a

P({1≤X ≤3}) =P({1−2≤X−2≤3−2})

=P({−1≤X−2≤1})

=P −1

e ≤ X−2 e ≤ 1

e

Comme la variable al´eatoire Z = X−2

e suit une loi normale centrée-réduite (par définition !), en utilisant la machine à calculer en entrant

on a

(20)

Avec la machine `a calculer directement

Votre machine à calculer permet d’estimer directement les probabilités des variables aléatoire qui suivent des lois normales quelconques. Reprenons l’exemple (38), on entre dans la machine à calculer

et on trouve

Remarque(s) 39

Une mise en garde ! On pourrait penser qu’il suffit de pianoter sur la calculatrice pour répondre à toutes les questions. Mais on peut imaginer un exercice de ce genre : sans utiliser la calculatrice, sachant queP({−0,1≤X ≤2}) =...déterminerP({..≤Z≤...}) avec un changement de variable.

2.3.3 Sym´ etrie de la fonction de Gauß

Observons, géométriquement uniquement, les effets des paramètresµ∈Retσ >0 sur la courbe représentative de la fonction de Gauß.

Observons l’effet de σ`aµ= 0 fix´e :

On constate que σ règle l’étalement de la courbe. Cela correspond à l’idée de dispersion de l’écart-type. Plus précisément, quel que soit le réel strictement positif σ, l’intégrale de la fonction densité est 1 : siσestélevéalors les données sont dispersées et la courbe de la gaussienne est étalée. Au contraire, siσest trèsprochede 0 alors les données sont très peu dispersées autour de la moyenne : la courbe estcontractéeautour de la moyenne.

Observons maintenant l’effet de l’espéranceµàσ= 1 fixé :

(21)

On constate que la courbe de la gaussienne pour µ quelconque est le translaté de la courbe de la gaussienne centrée-réduite par la translation de vecteur

µ 0

.

On retiendra : la courbe de la gaussienne pour µet σquelconque admet une sym´etrie axiale d’axe la droitex=µ.

2.3.4 R` egle des trois sigmas

On s’intéresse à laconcentrationdes valeurs d’une variable aléatoire qui suit une loi normale. SoitX une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espéranceµet d’écart- typeσ. On dira queX est à k σ de µ si {µ−kσ ≤ X ≤µ+kσ}, avec k ∈ R₊. On retiendra (par cœur !) les probabilités que X soit à 1-σ, 2-σet 3-σdeµ.

Théorème 40 (Règle des trois sigmas)

SoitX qui suit une loi normale d’esp´eranceµ∈Ret d’´ecart-typeσ >0. Alors : 1. P({µ−σ≤X ≤µ+σ})≈0,6867 ;

2. P({µ−2σ≤X≤µ+ 2σ})≈0,9545 ; 3. P({µ−3σ≤X≤µ+ 3σ})≈0,9973.

D´emonstration : Admise.

Remarque(s) 41

On peut en faire une interprétation géométrique assez élémentaire : il y a 99,73% des valeurs de la variable à 3-σdeµ, et ce, quel que soit l’espéranceµet l’écart-typeσ >0 : les valeurs de la variableX sontconcentréesdans cet intervalle.

Ci-dessus, une illustration de la r`egle des trois sigmas pourµ= 4et σ= 2.

Allons un peu plus loin (ce n’est pas au programme). Est-ce que cette propriétédes trois sigmasest exclusive à la loi normale ? On donne un résultat hors-programme (mais au programme l’année prochaine) : c’est l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

SiX est une variable aléatoire continue d’espérance et de variance finie, alors quel que soit le réelα >0

P

X /∈

E[X]−α;E[X] +α

≤ σ² α².

Autrement dit, la probabilit´e que les valeurs deX ne soient pas dans l’intervalle [E[X]− α;E[X] +α] est major´ee (donc au plus) par σ²

α². On prendα= 3σ >0, on noteµ=E[X], l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne

P X /∈

µ−3σ;µ+ 3σ ≤σ² α² = σ²

(3σ)² = σ² 9σ² =1

9.

C’est `a dire qu’il y a au plus ¹₉ des valeurs en dehors de l’intervalle [µ−σ;µ+ 3σ]. Bref, P({µ−3σ≤µ+ 3σ})≥0,8889

ou autrement dit il y a au moins 88,89% des valeurs d’une variable aléatoire continue (à espérance et écart-type fini) à 3-σdeµ.

(22)

Exemple(s) 42

SoitX une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espéranceµ= 50 et d’écart-type σ= 12. On peut, sans machine à calculer, évaluer

P({26≤X≤74}) =P({50−24≤X ≤50 + 24})

=P({µ−2σ≤X ≤µ+ 2σ})≈0,9545.

Cet exemple est bien pauvre en applications. L’intérêt de la règle des trois sigmas est leportrait qu’elle offre de la répartissions des valeurs d’une valeur aléatoire qui suit une loi normale.

2.4 Loi exponentielle E (λ)

2.4.1 D´ efinition de la loi

D´efinition 43 (Loi exponentielle)

Soient λ >0 etX une variable aléatoire continue et à densité. On dit queX suit une loi exponentielle de paramètreλsi la densité deX est

fX(x) =λe^−λx, ∀x∈R+. On note parfoisX∼E(λ).

Remarque(s) 44

On donne ci-dessous les courbes repr´esentatives de certaines densit´es :e

On peut éventuellement présenter la fonction densité ainsi : fX:t7→1R₊(t)λe^−λt et définir la fonction densité surR.

(23)

Proposition 45

SoitX une variable al´eatoire continue qui suit une loi exponentielle de param`etreλ.

1. P({x₁≤X}) =e^−λx¹; 2. P({X ≤x₂}) = 1−e^−λx²;

3. P({x1≤X ≤x₂}) =e^−λx¹−e^−λx²; D´emonstration :

1. Soitb > x₁ un r´eel, on a

P({x1≤X≤b}) = Z b

x1

λe^−λxdx=

−e^−λx ^x=b

x=x₁

=−e^−λb− −e^−λx¹

=e^−λx¹−e^−λb. Comme lim

b→+∞e^−λb= 0 car λ >0, on a lim

b→+∞P({x1≤X≤b}) = lim

b→+∞

Z b x₁

λe^−λxdx= Z +∞

x₁

f_X(x)dx=e^−λx¹. 2. On a

P({X ≤x2}) = 1−P({x2< X}) = 1−P({X ≤x2}) = 1−e^−λx² en utilisant le point 1.

3. On a

P({x1≤X ≤x2}) = Z x₂

x₁

fX(t)dt

=

−e^−λt ^t=x2

t=x₁

=−e^−λx²− −e^−λx¹

=e^−λx¹−e^−λx². Exemple(s) 46

SoitX une variable al´eatoire qui suit une loi exponentielle de param`etre 0,2.

1. P({X ≥4}) =P({4≤X}) =e^−0,2×4=e^−0,8. 2. P({X ≤10}) = 1−e^−0,2×10= 1−e⁻².

3. P({1≤X≤12,3}) =e^−0,2×1−e^−0,2×12,3=e^−0,2−e^−6,15.

Lemme 47

Une primitive det7→λte^−λtsurRest t7→

−t−1 λ

e^−λt.

D´emonstration :

La fonction propos´ee est bien d´erivable sur R. Pourx∈R

−t−1 λ

e^−λt

0

=

−t− 1 λ

0

e^−λt+

−t−1 λ

e^−λt⁰

=−e^−λt+

−t−1 λ

(−λ)e^−λt

=−e^−λt+ (λt+ 1)e^−λt

=e^−λt[−1 +λt+ 1]

=λte^−λt.

Th´eor`eme 48

Soit X une variable al´eatoire continue qui suit une loi exponentielle de param`etre λ.

Alors

1. E[X] = 1 λ; 2. V[X] = 1

λ².

D´emonstration : 1. Soitr >0. On a

Z r 0

tfX(t)dt= Z r

0

λte^−λtdt.

(24)

D’apr`es le lemme (47), Z r

0

λte^−λtdt=

−t−1 λ

e^−λt

^t=r

t=0

=

−r−1 λ

e^−λr−

−0−1 λ

e^−λ×0

=

−r−1 λ

e^−λr+1 λ. On a

−r− 1 λ

e^−λr=−λre^−λr 1

λ+ 1 rλ²

la division parr´etant possible carr >0.

D’une part

r→+∞lim 1 λ+ 1

rλ² = 1 λ >0.

D’autre part, on a

r→+∞lim −λr=−∞carλ >0 et

R→−∞lim Re^R= 0 par croissances compar´ees donc par compositions de limites,

r→+∞lim −λre^−λr= 0 et donc par produit de limites

r→+∞lim −λre^−λr 1

λ+ 1 rλ²

= 0.

Bref,

r→+∞lim Z r

0

λte^−λtdt= lim

r→+∞

−λre^−λr 1

λ

+ 1 rλ²

+1

λ = 1 λ. L’esp´erance existe et elle a pour valeurE[X] =

Z +∞

0

tfX(t)dt= 1 λ.

2. Admis.

Remarque(s) 49 Pour calculer

E[X] = Z +∞

0

λte^−λtdt on peut observer que

te^−λt⁰

=e^−λt−λte^−λt⇔λte^−λt=e^−λt− te^−λt⁰

. Partant,

Z r 0

λte^−λtdt= Z r

0

e^−λt− te^−λt⁰

dt= Z r

0

e^−λtdt− Z r

0

te^−λt⁰ dt.

et le calcul des deux derni`eres int´egrales est bien plus simple.

2.4.2 Perte de m´ emoire

Définition 50 (Propriété de perte de mémoire)

Soit X une variable aléatoire continue à valeurs réels positives. On dit que X à la propriété de perte de mémoire (ou à l’absence de mémoire) si pour tout réel t positif, pour touthpositif

P_{X≥t}({X≥t+h}) =P({X≥h}).

Remarque(s) 51

Autrement dit, sachant queX est plus grand quet, la probabilité queX dépasset+hest la même que la probabilité queX dépasseh.

Th´eor`eme 52

La loi exponentielle est `a perte de m´emoire.

D´emonstration : On a

P_{X≥t}({X≥t+h}) =P({X ≥t+h} ∩ {X≥t})

P({X ≥t}) =P({X ≥t+h}) P({X≥t})