On dit qu’on op´erateur T:H → H est une contraction si (∀x∈ H)(∀y∈ H) T x−T y ≤ x−y, et une contraction ferme si (∀x∈ H)(∀y∈ H) T x−T y2≤ T x−T y|x−y

Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen semestriel Licence de Math´ematiques MA380 – Analyse Hilbertienne et Num´erique

11 janvier 2007 10h `a 13h

R´esoudre chaque probl`eme sur une feuille s´epar´ee. Les appareils ´electroniques et les documents sont interdits. Les solutions devront ˆetre r´edig´ees de mani`ere ri- goureuse. Lorsque des r´esultats du cours seront utilis´es, ils devront clairement ˆetre

´enonc´es. On notera que certaines questions peuvent ˆetre r´esolues ind´ependamment.

Probl`eme I. (50 points) Dans tout le probl`eme, H d´esigne un espace de Hilbert r´eel, · | · son produit scalaire et · la norme associ´ee. On dit qu’on op´erateur T:H → H est une contraction si

(∀x∈ H)(∀y∈ H) T x−T y ≤ x−y, et une contraction ferme si

(∀x∈ H)(∀y∈ H) T x−T y²≤ T x−T y|x−y. On d´esigne par FixT =

x∈ H |T x=x

l’ensemble des points fixes deT. 1. Montrer que toute contraction ferme est une contraction.

2. Posons T =αT₁+ (1−α)T₂, o`u α ∈]0,1[ et o`u T₁ etT₂ sont deux contractions fermes de H vers H. Montrer queT est une contraction ferme.

3. Soit T l’op´erateur de projection sur un convexe ferm´e non-videC deH. Montrer queT est une contraction ferme.

4. Soit T:H → H une contraction ferme. Montrer les propri´et´es suivantes.

(a) (∀x∈ H)(∀z∈FixT) T x−z|x−T x ≥0.

(b) (∀x∈ H)(∀z∈FixT) T x−z² ≤ x−z²− T x−x².

5. Soient T:H → H une contraction, (y^(k))_k∈N une suite de H et y un point dans H tels que y^(k)→y etT y^(k)−y^(k)→0_H. Montrer quey∈FixT.

6. Soient T₁ et T₂ deux contractions fermes de H vers H telles que FixT₁ ∩FixT₂ = ∅. On consid`ere l’algorithme

x⁽⁰⁾∈ H et (∀k∈N) x^(k+1) = (T₁◦T₂)x^(k). (a) Soit z∈FixT₁∩FixT₂. Montrer les propri´et´es suivantes.

i. (∀k∈N) x^(k+1)−z² ≤ x^(k)−z²− (T1◦T2)x^(k)−T2x^(k)2− T2x^(k)−x^(k)2. ii. La suite (x^(k)−z)_k∈N converge.

iii. (T₁◦T₂)x^(k)−T₂x^(k) →0_H etT₂x^(k)−x^(k)→0_H.

(b) Soit (x^(lk))_k∈Nune sous-suite qui converge vers un pointx. Montrer les propri´et´es suivantes.

i. T₂x^(lk)→xet (T₁◦T₂)x^(lk)→x. ii. x∈FixT₁∩FixT₂.

iii. Toute la suite (x^(k))_k∈N converge vers x: x^(k)→x.

(c) On suppose que T₁ et T₂ sont des op´erateurs de projection sur des convexes ferm´es du plan euclidien.

i. Illustrer par un croquis la trajectoire des premiers termes de la suite (x^(k))_k∈N. ii. `A quelle m´ethode de r´esolution des syst`emes lin´eaires cet algorithme s’apparente t-il ?

Probl`eme II.(50 points) SoitA une matrice de C^n×m, avec m≤n.

1. (a) Montrer que la matriceA^∗Aest une matrice hermitienne deC^m×mdont les valeurs propres sont positives.

On classera dans la suite les valeurs propres deA^∗Apar ordre d´ecroissant en les supposant non toutes nulles (i.e., 0 = λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λm ≥ 0) et on notera, pour 1 ≤ k ≤ m, σ_k=√

λ_k (valeurs singuli`eres deA).

(b) Montrer que A₂ = σ₁, o`u · ₂ est la norme spectrale (on pourra utiliser le fait que A₂ =

A^∗A₂).

(c) Soit v_k un vecteur propre associ´e `a une valeur propre λ<sub>k</sub> > 0 de A<sup>∗</sup>A et u<sub>k</sub> le vecteur d´efini par uk = Avk/σk, 1 ≤ k ≤ p = rang(A). Montrer qu’`a partir de ces vecteurs on peut d´efinir deux matrices unitaires,U ∈C^n×netV ∈C^m×m, telles que

U^∗AV =

Σ_p [0]_p×m−p [0]_m−p×p [0]_m−p×n−p

, o`u Σ_p = diag(σ₁, ..., σ_p)∈R^p×p.

(d) V´erifier que

A= p k=1

σ_ku_kv_k^∗ et A^∗A= p k=1

σ_k²v_kv_k^∗. 2. (a) Rappeler la d´efinition de l’inverse g´en´eralis´e A^† de A.

(b) En utilisant les notations pr´ec´edentes, v´erifier que A^†=

p k=1

1

σkv_ku^∗_k, AA^†= p k=1

u_ku^∗_k et A^†A= p k=1

v_kv^∗_k.

(c) V´erifier que si p = rang(A) = m, alors A^† = (A^∗A)⁻¹A^∗. Que se passe t-il dans le cas p= rang(A) =m=n?

3. On suppose `a pr´esent que A ∈ R<sup>n×m</sup> et on s’int´eresse `a la r´esolution du syst`eme Aa= b, o`u b∈Rⁿ et rang(A) =m (n≥m). On notera ¯ala solution de ce syst`eme au sens des moindres carr´es.

(a) En utilisant la question2.(c), montrer que la r´esolution de ce probl`eme revient `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire de type B¯a= c, o`u B ∈ R^m×m et c ∈ R^m. Expliciter B et c et en d´eduire l’existence et l’unicit´e de ¯a.

(b) Soient M et N deux matrices de R^m×m telles que B = M −N. On d´efinit une suite (a^(k))_k∈N parMa^(k+1)=Na^(k)+c. ´Ecrire l’´equation v´erifi´ee par l’erreur e^(k) =a^(k)−¯a. (c) On suppose queM est inversible. Donner et justifier une condition sur la matrice M⁻¹N

pour que la suite (a^(k))_k∈N converge vers ¯a (on pourra utiliser le fait que, pour toute matrice carr´ee W, il existe une norme subordonn´ee · telle queW<1 si et seulement si ρ(W)<1).

(d) Soit A=

⎡

⎣1 2 3 5 1 1

⎤

⎦ etb=

⎡

⎣3 8 2

⎤

⎦. CalculerA^† et ¯a.