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Comparaison de la notion de dérivée en sciences physiques et en mathématiques
Mathématiques Sciences physiques
Fonction f de variable x : f(x).
Équation de la courbe représentative : y = f(x).
Fonction x de la variable t : x(t).
Exemple : position x(t) d’un point sur une droite en fonction du temps t.
Variation de f entre a et x : ∆y = f(x) − f(a) Variation de x entre t0 et t: ∆x = x(t) − x(t0).
Variation de x : h = x − a. Variation de t : ∆t = t − t0.
Taux d’accroissement de f entre a et x :
a x
a f x f
−
− ( ) )
( =
x y
∆
∆ . Vitesse moyenne entre les instants t0 et t:
0 0) ( ) (
t t
t x t x
−
− = t x
∆
∆ . Limite de ce taux quand x tend vers a :
a x→
lim x a
a f x f
−
− ( ) )
( … Limite de ce taux quand t tend vers t0 :
0
limt→t
0 0) ( ) (
t t
t x t x
−
− =
0
limt→t t x
∆
∆ …
…, c'est-à-dire, quand h = x − a tend vers 0 :
a x→
lim x a
a f x f
−
− ( ) )
( =
lim0
h→ h
a f h a
f( + )− ( )
= f ’(a).
C’est le nombre dérivé de f en a.
…, c'est à dire quand ∆t = t − t0 tend vers 0 :
0
lim
t t→
0 0) ( ) (
t t
t x t x
−
− = lim0
→
∆t t x
∆
∆ = = dt
dx(t0) = x•(t0).
C’est la vitesse instantanée du point à l’instant t0. Cette limite dépend de a, mais pas de x, variable « consommée » lors
du passage à la limite.
Cette limite dépend de t0, mais pas de t, variable « consommée » lors du passage à la limite.
