G135. Peut-on se fier à son intuition première ?

G135. Peut-on se fier à son intuition première ?

1/ NotonsA_i l’événement “gagner la ième partie” pour 16i62009.

Pr (A₁) = Pr A₂

= 1.

Pour 36n62009,soit u_n= Pr

n

\

i=3

A_i

!

, sachant queu₃=¹₂.

Alorsun= Pr An |

n−1

\

i=3

Ai

! un−1.

D’oùun=

n

Y

j=4

Pr Aj |

j−1

\

i=3

Ai

!

Pr (A₃) = 1 n−1. Doncp₂=u₂₀₀₉=₂₀₀₈¹ .

Considérons une manche de 2009 parties avec 1 =g₁< . . . < g₁₀₀₄les rangs des 1004 parties gagnées et 2 =p₁< . . . < p₁₀₀₅ ceux des 1005 parties perdues.

Pour 26i61004,à la partieg_i,il y a eug_i−1 parties donti−1 de gagnées : Pr (Ag_i) = _gⁱ⁻¹

i−1.

Pour 26i61005,à la partie pi, il y a eupi−1 parties dont i−1 de perdues et doncpi−ide gagnées : Pr Ap_i

=_pⁱ⁻¹

i−1. Alors Pr

₁₀₀₄

\

i=1

Ag_i

!

∩

1005

\

i=1

Ap_i

!!

=

1004

Y

i=2

i−1 gi−1

1005

Y

i=2

i−1

pi−1 = 1003!1004!

2008! . Cette valeur ne dépend donc pas du choix de la manche. Comme il y aC₂₀₀₇¹⁰⁰³ façons de choisir une telle manche, alorsp₁=p₂= ₂₀₀₈¹ .

2/ NotonsU_x l’événement “l’urne contient xboules bleues et 2009−xboules rouges” pour 06x62009 etB_il’événement “tirerifois une boule bleue” pour 16i62009.

Nous avons Pr (Ux) = ₂₀₁₀¹ , Pr (B1|Ux) = ₂₀₀₉^x et les tirages étant indépen- dants, Pr (Bi|Ux) = ₂₀₀₉^x i

.

Nous cherchons alors la valeur dep= Pr (U2009|B2009). D’après le théorème de Bayes,p= ^Pr(B₂₀₀₉^{2009|U2009) Pr(U2009)}

X

x=0

Pr(B₂₀₀₉|U_x) Pr(U_x)

.

D’où p = ₁2009+...+2009^{20092009 2009} qui n’est visiblement pas très proche de 1. Nous pouvons vérifier que ₂₀₀₉¹ < p < ¹

1+(²⁰⁰⁸₂₀₀₉)²⁰⁰⁹ < ³₄.

Plus précisément 1^k +. . .+n^k est de l’ordre de ⁿ_k+1^k+1 +ⁿ₂^k, et donc p est de l’ordre de ²₃.

3/ SoitXn le nombre de piles obtenus avecnlancers.

Xn est une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Pr (Xn =k) =C_n^{k 1}₂k

1−¹₂n−k

= ^C₂n^nk. p = Pr (Xn+1> Xn) =

n

X

k=0

Pr (Xn+1>k+ 1) Pr (Xn =k) les deux lancers étant indépendants.

1

p=

n

X

k=0 n+1

X

l=k+1

C_n+1^l 2ⁿ⁺¹

C_n^k 2ⁿ =

n

X

k=0 n+1

X

l=k+1

C_n+1^l C_n^k

2²ⁿ⁺¹ = ₂2n+1^G .

Par un changement de variable l⁰ = n+ 1−l et k⁰ = n−k, il est clair que G=

n

X

k⁰=0 k⁰

X

l⁰=0

C_n+1^l0 C_n^k0 =D.

CommeG+D=

n

X

k=0 n+1

X

l=0

C_n+1^l C_n^k= 2²ⁿ⁺¹,alorsG=D= 2²ⁿ. Brefp= ¹₂.

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