Problème E656 – Solution de Jean Drabbe
Voici une méthode ne faisant intervenir que neuf questions.
Soit S la fonction qui associe à tout nombre naturel n la suite S(n) formée des 8 composantes
pgcd(840,n + 1) , pgcd(840 , n + 2) , ... , pgcd(840 , n + 8) . Pour tout naturel n , S(n + 840) = S(n) ( 840 = 2^3 • 3 • 5 • 7) . Cependant, le célèbre théorème des restes chinois (*) permet d'établir facilement que la restriction de S à l'ensemble {1 , 2 , ... , 840} est injective.
Puce peut donc déterminer la valeur de N modulo 840 en utilisant successivement les 8 couples
(840 , 1) , (840 , 2) , (840 , 3) , ... , (840 , 8) . Soit k = 840 – (N mod 840).
On a : pgcd(144 , N + k) = 24 si 1 ≤ N < 840 pgcd(144 , N + k) = 48 si 840 ≤ N < 1680 pgcd(144 , N + k) = 72 si 1680 ≤ N ≤ 2011 L'utilisation du couple (144 , k) permet à Puce de terminer l'identification de N .
Dans le cas N = 1999, les couples choisis peuvent donc être :
(840 , 1) , (840 , 2) , (840 , 3) , ... , (840 , 8) et (144 , 319) .
(*) L'analyse indéterminée a fait l'objet de recherches en Chine depuis le 4e siècle (et peut-être même plus tôt). On pourra consulter [2] à ce propos (pages 119 et suivantes).
[1] Jones, G. And Jones, M., Elementary Number Theory, Springer ( (1998).
[2] Needham,J., Science and Civilisation in China, Volume 3
(Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth), Cambridge University Press (1959).
[3] Ribenboim, P., L'arithmétique des corps, Hermann (Paris, 1972).
