2 20 21 840 7 12 10 840 28 5 6 840 37 37 37

B 142. Carré S&P magique

Solution proposée par Michel Lafond

Le minimum pour S est 37 avec l’unique solution ci-dessous.

Démontrons (à la main) que pour S = 37 on a la solution unique (aux permutations de rangées près) :

2 20 21

⁸⁴⁰

7 12 10

⁸⁴⁰

28 5 6

⁸⁴⁰

37 37 37

Remarquons d’abord que

Dans chaque colonne, le fait d’avoir non carrés implique que chaque terme est inférieur ou égal à 32. [Le cas extrême est 2 + 3 + 32 = 37]

Puisque le produit des 9 termes est un cube, si le facteur premier p est présent , il l’est sous la forme où k est multiple de 3.

Donc, parmi les 9 termes on n’a pas le facteur 17 puisque le seul multiple de 17 inférieur ou égal à 32 est 17.

De même, on n’a aucun facteur premier supérieur à 17.

On n’a pas non plus le facteur 11, puisque les seuls multiples de 11 inférieurs ou égaux à 32 sont 11 et 22.

Il ne reste en éliminant les carrés que les termes de l’ensemble

La liste des ensembles de 3 termes distincts de E dont la somme est égale à 37 est : 2 ; 3 ; 32 2 ; 15 ; 20 5 ; 8 ; 24 7 ; 10 ; 20 2 ; 5 ; 30 3 ; 6 ; 28 5 ; 12 ; 20 7 ; 12 ; 18 2 ; 7 ; 28 3 ; 7 ; 27 5 ; 14 ; 18 8 ; 14 ; 15 2 ; 8 ; 27 3 ; 10 ; 24 6 ; 7 ; 24 10 ; 12 ; 15 2 ; 14 ; 21 3 ; 14 ; 20 6 ; 10 ; 21

Le facteur 7 est nécessairement présent, sinon les seuls ensembles disponibles seraient

2 ; 3 ; 32 2 ; 5 ; 30 2 ; 8 ; 27 2 ; 15 ; 20 3 ; 10 ; 24 5 ; 8 ; 24 5 ; 12 ; 20 10 ; 12 ; 15

On devrait trouver 3 ensembles dont les éléments sont distincts, et les seules possibilités sont

Les neuf entiers positifs distincts a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3

remplissent les neuf cases d’un carré 3 x 3 de sorte que :

- Les produits des entiers sur une même ligne sont tous égaux au même entier P,

- Les sommes des entiers sur une même colonne sont tous égaux à un même nombre S qui est le plus petit nombre premier possible, - Aucun de ces entiers n’est un carré parfait.

Déterminer la liste des neuf entiers et prouver qu’elle est unique.

2 ; 3 ; 32 5 ; 8 ; 24 10 ; 12 ; 15 et 2 ; 8 ; 27 3 ; 10 ; 24 2 ; 12 ; 20 Mais aucun des produits n’est un cube.

Puisque le facteur 7 est présent, examinons les multiples de 7 [en gras] dans la liste des possibilités : 2 ;

7

;

28

3 ; 6 ;

28

5 ;

14

; 18

7

; 10 ; 20

2 ;

14

;

21

3 ;

7

; 27 6 ;

7

; 24

7

; 12 ; 18 3 ;

14

; 20 6 ; 10 ;

21

^{8 ;}

14

; 15 En choisissant 3 ensembles de cette liste, on a au plus 5 facteurs 7.

Puisque le nombre de facteurs 7 doit être multiple de 3, les seules possibilités (avec élément distincts) sont 3 ; 6 ;

28

5 ;

14

; 18

7

; 10 ; 20

3 ; 6 ;

28 7

; 10 ; 20 8 ;

14

; 15 3 ; 6 ;

28 7

; 12 ; 18 8 ;

14

; 15 3 ;

7

; 27 5 ;

14

; 18 6 ; 10 ;

21

3 ;

7

; 27 6 ; 10 ;

21

8 ;

14

; 15 3 ;

14

; 20 6 ; 10 ;

21 7

; 12 ; 18 6 ; 10 ;

21 7

; 12 ; 18 8 ;

14

; 15 2 ;

7

;

28

3 ;

14

; 20

2 ;

7

;

28

5 ;

14

; 18 2 ;

7

;

28

6 ; 10 ;

21

2 ;

7

;

28

8 ;

14

; 15 2 ;

14

;

21

3 ; 6 ;

28

2 ;

14

;

21

3 ;

7

; 27 2 ;

14

;

21

6 ;

7

; 24 2 ;

14

;

21 7

; 10 ; 20 2 ;

14

;

21 7

; 12 ; 18

Pour les 7 premières, les seules pour lesquelles le facteur 5 a un exposant multiple de 3 dans sont : 3 ; 6 ;

28

5 ;

14

; 18

7

; 10 ; 20 mais le facteur 3 a un exposant égal à 4

3 ; 6 ;

28 7

; 10 ; 20 8 ;

14

; 15 mais le facteur 2 a un exposant égal à 10

Pour les 9 possibilités suivantes, il faut trouver un troisième ensemble ne contenant pas le facteur 7.

Ces ensembles sont à choisir dans la liste :

2 ; 3 ; 32 2 ; 5 ; 30 2 ; 8 ; 27 2 ; 15 ; 20 3 ; 10 ; 24 5 ; 8 ; 24 5 ; 12 ; 20 10 ; 12 ; 15 2 ;

7

;

28

3 ;

14

; 20 peut être complété par 5 ; 8 ; 24 ou 10 ; 12 ; 15 2 ;

7

;

28

5 ;

14

; 18 peut être complété par 3 ; 10 ; 24 ou 10 ; 12 ; 15 2 ;

7

;

28

6 ; 10 ;

21

peut être complété par 5 ; 8 ; 24 ou 5 ; 12 ; 20 2 ;

7

;

28

8 ;

14

; 15 peut être complété par 3 ; 10 ; 24 ou 5 ; 12 ; 20

2 ;

14

;

21

3 ; 6 ;

28

peut être complété par 5 ; 8 ; 24 ou 5 ; 12 ; 20 ou 10 ; 12 ; 15

2 ;

14

;

21

3 ;

7

; 27 peut être complété par 5 ; 8 ; 24 ou 5 ; 12 ; 20 ou 10 ; 12 ; 15 2 ;

14

;

21

6 ;

7

; 24 peut être complété par 5 ; 12 ; 20 ou 10 ; 12 ; 15

2 ;

14

;

21 7

; 10 ; 20 peut être complété par 5 ; 8 ; 24

2 ;

14

;

21 7

; 12 ; 18 peut être complété par 3 ; 10 ; 24 ou 5 ; 8 ; 24

Avec la contrainte du facteur 5 dont l’exposant doit être multiple de 3, il ne reste que 2 ;

7

;

28

3 ;

14

; 20 10 ; 12 ; 15

2 ;

7

;

28

5 ;

14

; 18 10 ; 12 ; 15 2 ;

7

;

28

6 ; 10 ;

21

5 ; 12 ; 20 2 ;

7

;

28

8 ;

14

; 15 5 ; 12 ; 20 2 ;

14

;

21 7

; 10 ; 20 5 ; 8 ; 24

Avec la contrainte du facteur 3 dont l’exposant doit être multiple de 3, il ne reste que 2 ;

7

;

28

3 ;

14

; 20 10 ; 12 ; 15 avec un produit égal à 840³

2 ;

7

;

28

6 ; 10 ;

21

5 ; 12 ; 20 avec un produit égal à 840³

Reste à trouver 3 produits égaux à 840 en prenant à chaque fois un élément dans chaque ensemble.

Dans la première possibilité, 15 doit être multiplié par 56 qui est impossible à réaliser.

Dans la seconde possibilité, 28 ne peut être multiplié que par 30 = 6 x 5

Ensuite, 21 ne peut être multiplié que par 40 = 2 x 20 et il reste 7 x 10 x 12 = 840 avec la solution unique donnée au début.

On vérifie par la même méthode que si la somme S est inférieure à 37, on n’a pas de solution avec les contraintes imposées.

Ci-dessous des carrés S-P trouvés par programme, avec les contraintes de l’énoncé :

2 30 18

¹⁰⁸⁰

12 6 15

¹⁰⁸⁰

27 5 8

¹⁰⁸⁰

41 41 41

3 40 21

²⁵²⁰

20 7 18

²⁵²⁰

30 6 14

²⁵²⁰

53 53 53

2 42 30

²⁵²⁰

12 10 21

²⁵²⁰

45 7 8

²⁵²⁰

59 59 59