Existence de la fonction exponentielle

Existence de la fonction exponentielle

On considère les suites réelles(un)et (vn)définies pour toutn≥1par : u_n(x) =³

1 +x n

´n

et v_n(x) =³ 1−x

n

´−n

. La démarche est alors la suivante :

Démontrer que les deux suites sont adjacentes et admettent donc une limite commune. Cette limite dépend bien sûr dex. On peut alors créer une fonctionf qui à toute valeur dexassocie cette limite.

On est alors assuré de l’existence d’une fonctionf telle quef(x) = lim

n→+∞

³ 1 + x

n

´n

= lim

n→+∞

³ 1−x

n

´n

,pour toutxréel.

On montrera alors enfin que f(0) = 1et quef est dérivable avecf⁰(x) =f(x).

Il ne reste plus alors qu’à conclure.

1. Soit la propriéré(P n): pour tout réelα >−1,(1 +α)ⁿ≥1 +nα.

Démontrer que cette propriété est vraie pour toutndeN.

2. Démontrons que(un(x))est croissante : 2.1.Vérifier que 1 + x

n+ 1 =³ 1 + x

n

´Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 +_n^x¢

!

2.2. En remplaçant dans l’expression deu_n+1,en déduire queu_n+1(x) =³ 1 + x

n

´n+1Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

!n+1

2.3. Montrer qu’à partir d’un certain rang,− x n(n+ 1)¡

1 +_n^x¢>−1.

2.4. En appliquant la propriétéP nà Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

!n+1

,montrer qu’alorsun+1≥un. 2.5. Conclure sur la monotonie de(u_n(x)).

3. En remarquant quev_n(x) = 1

un(−x) démontrer que(v_n(x))est décroissante.

4. Démontrons que lim

n→+∞(un(x)−vn(x)) = 0.

On pourra majorer à l’aide deP_n :³ 1 +x

n

´n

et³ 1−x

n

´−n

5. Conclure concernant les suites(u_n(x))et(v_n(x))et leurs limites.

6. Soit doncf(x) = lim

n→+∞un(x).Montrer quef(0) = 1.

7. Montrons quef est dérivable et que f⁰(x) =f(x)pour toutx.

On va donc essayer d’étudier la limite de f(x+h)−f(x)

h quand htend vers 0, pour un xfixé quelconque.

7.1.Ecrire ce qu’estf(x+h)

7.2. Vérifier que µ

1 + x+h n

¶n

=³ 1 + x

n

´n

⎡

⎢⎣1 + h n 1 + x

n

⎤

⎥⎦

n

7.3.Montrer que pour|h|<1etn+x >1, en utilisant encore la propriétéP n,

que µ

1 +x+h n

¶n

≥³ 1 + x

n

´n

⎡

⎣1 + h 1 +x

n

⎤

⎦

7.4. En déduire quef(x+h)≥f(x) (1 +h)

7.5 En réécrivant cette expression pourx+het en remplaçanthpar−h, montrer quef(x)≤ f(x+h)−f(x)

h ≤ f(x)

1−h ou f(x)

1−h≤ f(x+h)−f(x)

h ≤f(x)

7.6 Conclure

On considère les suites réelles (u_n) et(v_n) définies pour tout n≥1par : u_n(x) =³

1 +x n

´n

etv_n(x) =³ 1−x

n

´−n

.

1. Soit la propriéré(P n): pour tout réel α >−1,(1 +α)ⁿ≥1 +nα.

Démontrer que cette propriété est vraie pour tout n de N.

Démonstration par récurrence : Supposonsx >−1; Soit(Pn): (1 +α)ⁿ≥1 +nα F(1 +α)⁰= 1 + 0×α= 1La propriété est donc vraie pourn= 0

FHérédité : SupposonsP nvraie,.c’est à dire(1 +α)ⁿ≥1 +nα

Dès lors, (1 +α)ⁿ⁺¹= (1 +α)ⁿ(1 +α)donc(1 +α)ⁿ⁺¹≥(1 +nα) (1 +α)puisqueα >−1⇒1 +α >0 Et(1 +α)ⁿ⁺¹≥nα²+α+nα+ 1

≥α+nαpuisquenα²+ 1>0

≥(n+ 1)α

La propriété est donc vraie à l’ordren+ 1.

La propriété est donc vraie pourn= 0 ; la supposant vraie à l’ordrenelle l’est encore à l’ordren+ 1.

Elle est donc vraie pour toutn. C’est à dire,α >−1, (1 +α)ⁿ≥1 +nα 2. Démontrons que (un(x))est croissante :

2.1.Vérifier que 1 + x n+ 1 =³

1 + x n

´Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

!

³ 1 + x

n

´Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

!

= 1 +x

n− x

n(n+ 1)

Il suffit alors de réduire le 2^◦ membre au même dénominateur :

³ 1 + x

n

´Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

!

= 1 +x

n− x

n(n+ 1)

= 1 + (n+ 1)x−x n(n+ 1)

= 1 + nx n(n+ 1)

= 1 + x n+ 1

Donc1 + x n+ 1 =³

1 + x n

´⎛

⎝1− x n(n+ 1)³

1 + x n

´

⎞

⎠

2.2. En remplaçant dans l’expression deun+1,en déduire queun+1(x) =³ 1 + x

n

´n+1Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 +^x_n¢

!n+1

un(x) =³ 1 +x

n

´n

⇒un+1(x) = µ

1 + x n+ 1

¶n+1

= µ

1 + x

n− x

n(n+ 1)

¶n+1

Or1 +x

n− x

n(n+ 1) =³ 1 + x

n

´n+1Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 +_n^x¢

!n+1

Doncu_n+1(x) =³ 1 + x

n

´n+1Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

!n+1

2.3. Montrer qu’à partir d’un certain rang, − x n(n+ 1)¡

1 + ^x_n¢ >−1.

En multipliant les deux membres par−1,il suffit d’établir que : x n(n+ 1)¡

1 + ^x_n¢ <1à partir d’une certaine valeur den.

Si 1 +^x_n >0,c’est à dire pourn+x >0donc pourn >−xcondition(C1)on a: n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

>0 Ainsi, sous cette condition(C₁), x

n(n+ 1)¡

1 +^x_n¢ <1⇔x < n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

⇔x <(n+ 1) (n+x)

⇔x < n²+n+nx+x

⇔n²+n+nx >0 En divisant parncette condition devient : n+ 1 +x >0doncn >−1−xcondition(C2) La plus restrictive de ces deux conditions étant la première, on peut écrire :

n >−x⇒ x n(n+ 1)¡

1 + ^x_n¢ <1⇒ − x n(n+ 1)¡

1 +^x_n¢ >−1

Donc quen >−x⇒ − x n(n+ 1)¡

1 +^x_n¢ >−1

2.4. En appliquant la propriété P n à Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

!n+1

, montrer qu’alors u_n+1≥u_n.

On a vu que pourα >−1,(1 +α)ⁿ ≥1 +nαou encore, à l’ordren+ 1: (1 +α)ⁿ⁺¹≥1 + (n+ 1)α Donc ici, en prenant− x

n(n+ 1)¡

1 +^x_n¢ pourα,

− x

n(n+ 1)¡

1 +^x_n¢ >−1⇒ Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 +_n^x¢

!n+1

≥1 + (n+ 1) Ã

− x

n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

!

Donc Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 + ^x_n¢

!n+1

≥1− x n¡

1 +^x_n¢

≥1− x (n+x)

≥ n n+x Oru_n+1(x) =³

1 + x n

´n+1Ã

1− x

n(n+ 1)¡ 1 +_n^x¢

!n+1

Doncun+1(x)≥³ 1 +x

n

´n+1 n n+x

≥

µn+x n

¶n+1

n n+x

≥

µn+x n

¶n

≥³ 1 + x

n

´n

On a donc bien u_n+1(x)≥u_n(x)

2.5. Conclure sur la monotonie de (un(x)). (un(x))est donc croissante à partir d’un certain rang. (n >−x)

3. En remarquant que vn(x) = 1

u_n(−x) démontrer que (vn(x))est décroissante.

(u_n(x))est donc croissante, propriété démontrée pour toutxréel, on aurau_n+1(−x)≥u_n(−x)⇒ 1

u_n+1(−x) ≤ 1 u_n(−x) Doncvn(x)≥vn+1(x)et (vn(x))est donc décroissante à partir d’un certain rang. (n >−x)

4. Démontrons que lim

n→+∞(u_n(x)−v_n(x)) = 0.

On pourra majorer à l’aide de P_n : ³ 1 + x

n

´n

et³ 1−x

n

´−n

u_n(x)−v_n(x) =³ 1 +x

n

´n

−³ 1−x

n

´−n

. NOr,n >−x⇒ x

n >−1donc d’aprèsPn:. ³ 1 + x

n

´n

≥1 +x notée(I1) NDe même, pourn > x, −x

n >−1on aura.donc³ 1−x

n

´n

≥1−x

On prendra en faitnsupérieur au plus grand des deux nombresxet−xpour être certain des deux majorations.

Dès lors, ³ 1−x

n

´n

≥1−x⇒ 1

³ 1−x

n

´n ≤ 1

1−x la fonction inverse étant décroissante

⇒ −1

³ 1−x

n

´n ≥ −1

1−x en multiplant par−1 notée(I₂) NEt³

1 + x n

´n

−³ 1−x

n

´−n

≥(1 +x)− 1

1−x en faisant la somme membre à membre de(I₁)et(I₂) Doncun(x)−vn(x)≥1−x²−1

1−nx ⇒un(x)−vn(x)≥ −x² 1−nx Or lim

n→+∞(1−nx) =±∞suivant le signe dex⇒ lim

n→+∞

−x² 1−nx= 0 On en déduit que lim

n→+∞(u_n(x)−v_n(x)) = 0

5. Conclure concernant les suites(un(x))et (vn(x)) et leurs limites.

Les suites sont donc adjacentes. Elles convergent vers une même limite 6. Soit doncf(x) = lim

n→+∞u_n(x). Montrer quef(0) = 1.

Pourx= 0, u_n(0) =

µ 1 + 0

n

¶n

= 1 etv_n(0) = µ

1− 0 n

¶₋n

= 1.

Les suites sont constantes et on donc pour limite 1. Doncf(0) = 1 7. Montrons que f est dérivable et quef⁰(x) =f(x)pour tout x.

On va essayer d’étudier la limite de f(x+h)−f(x)

h quand htend vers 0, pour unx fixé quelconque.

7.1.Ecrire ce qu’est f(x+h) f(x+h) = lim

n→+∞u_n(x+h) Donc f(x+h) = lim

n→+∞

µ

1 +x+h n

¶n

7.2. Vérifier que µ

1 +x+h n

¶n

=³ 1 +x

n

´n

⎡

⎢⎣1 + h n 1 + x

n

⎤

⎥⎦

n

³1 + x n

´n

⎡

⎢⎣1 + h n 1 + x

n

⎤

⎥⎦

n

=

⎡

⎢⎣³ 1 + x

n

´⎛

⎜⎝1 + h n 1 +x

n

⎞

⎟⎠

⎤

⎥⎦

n

Or³ 1 + x

n

´⎛

⎜⎝1 + h n 1 + x

n

⎞

⎟⎠=

µn+x n

¶ µ 1 + h

n+x

¶

=

µn+x n

¶ µn+x+h n+x

¶

= n+x+h n

Ainsi,³ 1 + x

n

´⎛

⎜⎝1 + h n 1 + x

n

⎞

⎟⎠= 1 +x+h n

On en déduit que

⎡

⎢⎣³ 1 + x

n

´⎛

⎜⎝1 + h n 1 + x

n

⎞

⎟⎠

⎤

⎥⎦

n

= µ

1 +x+h n

¶n

7.3.Montrer que pour |h|<1etn+x >1, en utilisant encore la propriétéP n, que

µ

1 + x+h n

¶n

≥³ 1 + x

n

´n

⎡

⎣1 + h 1 + x

n

⎤

⎦

1 + h n 1 +x

n

sin+x >1alors1 +x n > 1

n ⇒ 1

1 +x n

< net donc

¯¯

¯¯

¯¯ 1 1 + x

n

¯¯

¯¯

¯¯< n

Si de plus|h|<1,alors

¯¯

¯¯h n

¯¯

¯¯< 1 n et

¯¯

¯¯

¯¯

¯ h n 1 +x

n

¯¯

¯¯

¯¯

¯

=

¯¯

¯¯ h n

¯¯

¯¯

¯¯

¯1 + x n

¯¯

¯

< 1

n×ncomme produit de deux quantité comprises entre0et1.

Donc

¯¯

¯¯

¯¯

¯ h n 1 +x

n

¯¯

¯¯

¯¯

¯

<1On aura donc forcément h n 1 +x

n

>−1(sinon sa valeur absolue serait plus grande que 1)

On peut donc appliquer à nouveau P n,avecα= h n 1 + x

n .

Donc pourn >1−xet|h|<1,

⎡

⎢⎣1 + h n 1 +x

n

⎤

⎥⎦

n

≥1 + nh

n 1 + x

n

Donc

⎡

⎢⎣1 + h n 1 + x

n

⎤

⎥⎦

n

≥1 + h 1 + x

n donc

⎡

⎢⎣1 + h n 1 + x

n

⎤

⎥⎦

n

≥1 + h 1 + x

n

et µ

1 +x+h n

¶n

≥³ 1 + x

n

´n

⎡

⎣1 + h 1 +x

n

⎤

⎦

n

⇒ µ

1 +x+h n

¶n

≥³ 1 +x

n

´n

⎛

⎝1 + h 1 + x

n

⎞

⎠

7.4. En déduire que f(x+h)≥f(x) (1 +h) En passant à la limite,

µ

1 +x+h n

¶n

étant convergente (c’estun)de même que³ 1 + x

n

´n

et

⎛

⎝1 + h 1 + x

n

⎞

⎠

et en vertu des théorèmes généraux sur les limites, lim

n→+∞

µ

1 + x+h n

¶n

≥ lim

n→+∞

³1 + x n

´n n→lim+∞

⎛

⎝1 + h 1 + x

n

⎞

⎠

c’est à dire, f(x+h)≥f(x) (1 +h).

7.5 En réécrivant cette expression pour x+h et en remplaçant hpar −h, montrer que f(x)≤ f(x+h)−f(x)

h ≤ f(x)

1−h ou f(x)

1−h ≤ f(x+h)−f(x)

h ≤f(x)

Remarquons que les conditions sont|h|<1ce qui sera plutôt sympa quand il faudra faire tendrehvers0et n+x >1.

Dés lors, |h|<1⇒|−h|<1.la formule obtenue avechsera vraie aussi pour−h.

De plus,n+x+h >1peut toujours être vérifiée en commençant éventuellement à un ordre supérieur.

On aurait de enx⁰ et en écrivant la formule avec−h: f(x⁰−h)≥f(x⁰) (1−h) Donc en prenantx⁰=x+h: f(x+h−h)≥f(x+h) (1−h)doncf(x+h)≤ f(x)

1−h En regroupant ces deux inégalités, on obtient : f(x) (1 +h)≤f(x+h)≤ f(x)

1−h C’est à dire : f(x) +hf(x)≤f(x+h)≤ f(x)

1−h donchf(x)≤f(x+h)−f(x)≤ f(x)

1−h−f(x) C’est à direhf(x)≤f(x+h)−f(x)≤hf(x)donc f(x)≤ f(x+h)−f(x)

h ≤ f(x)

1−h pour h >0 et f(x)

1−h ≤ f(x+h)−f(x)

h ≤ f(x)

h pourh <0 7.6 Conclure

Et par conséquent, lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h =f(x),ce qui prouve que f est dérivable et que f⁰(x) =f(x).

Le début (jusqu’au 5.) prouve l’existence def,la suite prouve quef(0) = 1et quef⁰(x) =f(x)pour toutx.

Et voilà démontrée la fameuse existence de cette fonction exponentielle,

valant 1 en 0 et qui est sa propre dérivée.