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(Éléments de) Corrigé
pages 92-93 - TD1 « Vrai ou faux » : lectures graphiques
1. faux :enx= 4la tangente n’est pas horizontale ;
2. vrai :sur cet intervalle, la fonction est croissante donc sa dérivée positive ; 3. vrai;
4. faux :sur[−4; 0],Cf est sous(Ox)doncfest négative ; 5. faux :sur[1; 5],fest décroissante doncf0est négative ;
6. faux :car0∈[−4; 1]et sur cet intervallefestcroissante doncf0est positive ; 7. vrai : carf(1) = 4et pour toutx∈[−4; 8],f(x)≤4;
8. vrai : mais 5 n’est pas le maximum def sur cet intervalle ; 9. faux :carf(−4) =−2<−1;
10. vrai :pour toutx∈[−4; 8]on a−2≤f(x)≤4.
2 Q.C.M. : lecture d’un tableau de variation
1. c.en effet, sur[−2 ; 1]on af(−2)< f(0)donc elle ne peut être strictement décroissante ; sur[−5; 2]elle est croissante.
2. b.en effet, sur[−5;−2]f est croissante donc pour toutx∈[−5; 2]on af(x)≤f(2) =
−2<0.
3. b.carf est décroissante sur[0; 1].
4. b.car sur[0; 5]le minimum def est−2(atteint en 1) et son maximum est 3 (atteint en 5).
5. b.car pourx∈]−5;−1[on af(x)≤f(−2).
6. a.car la dérivée s’annule trois fois.
7. b.car pour toutx∈[0; 5]on af(x)≥ −2.
8. piège :on ne peut pas se prononcer sans avoir plus de détail sur la limite lorsquextend vers−1en étant négatif def(x). On en reparlera dans un chapitre ultérieur. . .
3 Une étude de fonction en Économie
1. Le coût moyen estCM(q) =C(q)q = 3q+ 50 +2 700q .
2. a) f est dérivable sur]0 ; +∞[et pourx >0on af0(x) = 3−2700x2 =3x2−2 700x2 .
b) Le signe def0est le signe de son numérateur carx2>0pourx >0et on a3x2−2 700 = 3(x−30)(x+ 30). On a donc :
x 0 30 +∞
x−30 − 0 +
x+ 30 + +
f0(x) − 0 +
f 230
26 février 2009
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(Éléments de) Corrigé
pages 92-93 - TDc) Doncf admet pour minimum230enx0= 30.
3. a) Le coût moyen décroît jusqu’àq= 30puis il croît pourq >30.
b) Le coût moyen est minimal pourq= 30.
4. a) T passe par l’origine du repère si son ordonnée à l’origine est nulle.
Or T : y =f0(a)(x−a) +f(a)ou encore,T : y = f0(a)x+f(a)−af0(a). Ainsi l’ordonnée à l’origine deT estf(a)−af0(a).
Résolvonsf(a)−af0(a) = 0; cette équation équivaut à−3a2+ 2 700 = 0. Qui admet une unique solution dans]0; +∞[:a= 30.
On a alorsT:y=f0(30)xsoitT:y= 230x.
b) On trouve la même valeur quex0. c)
4 Courbe représentant une fonction dérivée
a) La dérivée est positive sur]− ∞; 0]et sur[2; +∞[; elle est négative sur[0; 2]. Doncf est croissante sur]− ∞; 0], puis décroissante sur[0; 2]et enfin à nouveau croissante sur[2; +∞[.
La seule courbe qui convient est donc lacourbe 3.
b) On af0(0) = 0carCf0passe parO(0; 0)donca×02+b×0 +c= 0doncc= 0;
De plus,Cf0 passe parA(1;−3)etB(2; 0)doncf(1) =−3et f(2) = 0. On obtient donc a×12+b×1 =−3eta×22+b×2 = 0. On résout donc le système
a+b=−3 4a+ 2b= 0 et on obtienta= 3etb=−6doncf0(x) = 3x2−6x.
c) La dérivée defest un polynôme de degré 2 doncfest un polynôme de degré 3 (la dérivation
« descend » le degré d’un polynôme de 1). Doncf(x) =dx3+ex2+f x+g.
En dérivantf on obtientf0(x) = 3dx2+ 2ex+f. Orf0(x) = 3x2−6xDonc3d= 3,2e=−6 etf= 0. On obtient doncd= 1,e=−3etf= 0:
f(x) =x3−3x2+g.
De plusCf passe parC(0; 2)doncf(0) = 2doncg= 2. Ainsi,f(x) =x3−3x2+ 2.
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