TD d’Algèbre 4

Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador Département de Mathématiques

Filières SMA Semestre S3 Année universitaire: 2020-2021

TD d’Algèbre 4

Série 1: Endomorphismes.

Exercice 1.

SoitEun espace vectoriel surR, de dimension finien, et soituun endornorphismes deE tel que : u³+u= 0.

1) Montrer que l’espaceIm(u) est stable paruet calculeru²(x) pour x∈Im(u).

2) Soitvl’endomorphisme induit par usurIm(u). Montrer quev est un isomorphisme.

Exercice 2.

Soientf etg deux endomorphismes d’unK-espace vectorielE. On suppose quef etgcommutent, montrer queIm(f) etker(f) sont stables parg. Que peut-on dire de la réciproque ?

Exercice 3.

SoitE un espace vectoriel surK, et soientf et gdes endomorphismes deE tels que : f◦g−g◦f =Id_E(∗)

1) Soitk∈N^∗. Montrer que :f◦g^k−g^k◦f =kg^k−1.

2) Pour tout polynômeP(X) =anXⁿ+. . .+a1X+a0deK[X], on pose : P(g) =angⁿ+. . .+a₁g+a₀IdE.

a) Montrer que l’application u, de K[X] vers L(E), qui à tout polynôme P(X) ∈ K[X]

associe l’endomorphismeuP =f ◦P(g)−P(g)◦f, est linéaire.

b) En déduire que pour tout polynômeP(X)∈K[X], on au_P =P⁰(g) oùP⁰(X) désigne le polynôme dérivé deP(X).

3) On suppose maintenant queE est un espace vectoriel surR, de dimension finien,n≥1.

a) Montrer que la famille (IdE, g, g², . . . , gⁿ²) est liée.

b) En déduire qu’il existe un polynômeA(X)∈K[X], non nul, tel queA(g) = 0_L(E). c) En utilisant les résultats ci-dessus, montrer que siE est de dimension finien,n≥1, il

n’existe pas de couple (f, g) d’endomorphismes deE vérifiant la relation (∗).

Exercice 4.

SoientE un espace vectoriel sur K, de dimension finie n, et uun endomorphisme de E que l’on suppose nilpotent (i.e. il existek∈N tel queu^k=u◦u◦. . .◦u

| {z }

kf ois

= 0_L(E)).

1) Montrer queuⁿ = 0_L(E).

2) On pose v=Id_E+ 2u+ 3u²+. . .+nuⁿ⁻¹. Montrer quev est un automorphisme deE et exprimerv⁻¹en fonction deu.

3) Soientfetgdes endomorphismes deEtels que (f◦g)ⁿ = 0_L(E).Montrer que (g◦f)ⁿ= 0_L(E).

Exercice 5.

Soientuun endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimension finien≥2. On suppose que Eest le seul sous-espace vectoriel non nul stable par u.

1) L’endomorphismeupossède-t-il des valeurs propres ?

2) Montrer que pour tout x ∈ E\{0E}, la famille {x, u(x), . . . , uⁿ⁻¹(x)} est une base de E.

Quelle est la forme de la matrice deudans cette base ? 3) Montrer que cette matrice ne dépend pas du choix dex.

Série 1: Endomorphismes. 1/1