SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dansN

Probabilit´es et Statistique 2011-2012 Pr´eorientation IMACS 2`eme ann´ee

Devoir maison

A rendre au plus tard le mardi 24/04`

Exercice 1

1. SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dansN. Pour tout k∈Non notep_k=P(X =k).

On appellefonction g´en´eratricede X, not´eeG_X, la fonctionG_X(t) =E(t^X),d´efinie sur l’ensemble des valeurstpour lesquelles cette esp´erance existe.

(a) Donnez l’expression deG_X(t) en fonction des probabilit´esp_k, k∈N.

(b) Montrez que l’ensemble de d´efinition de GX contient au moins l’intervalle [−1,1].

(c) CalculezG_X(0), G⁰_X(0) etG⁰⁰_X(0). Proposez une m´ethode pour retrouver toutes les probabilit´espk si on connaˆıt la fonction g´en´eratriceGX.

(d) On suppose maintenant que l’ensemble de d´efinition de G_X contient un intervalle de type [−1,1 +ε], avecε >0. Montrez alors les relations suivantes:

E(X) =G⁰_X(1), Var(X) =G⁰_X(1) +G⁰⁰_X(1)−(G⁰_X(1))².

(e) Montrez que siX etY sont ind´ependantes, alorsG_X+Y(t) =G_X(t)G_Y(t), ∀t.

2. Soit X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Poisson de param`etres respectifsλetµ.

(a) Calculez la fonction g´en´eratriceG_X et donnez son ensemble de d´efinition.

(b) D´eduisez-en l’esp´erance et la variance de X.

(c) Soitk∈N. CalculezG^(k)_X (0) et d´eduisez-en le fait que P(X =k) = ^λ_k!^ke^−λ. (d) D´eterminez la fonction g´en´eratrice deX+Y et d´eduisez-en sa loi de probabilit´e.

Exercice 2

Soit T une variable al´eatoire de loi exponentielle de param`etre λ >0. On pose X = [T] + 1 etY =T−[T], avec [x] qui d´enote la partie enti`ere du r´eelx.

1. Pour y∈[0,1[, calculez la probabilit´e conditionnelleP(T ≤y |T <1).

2. Pour tout k≥ 1, exprimez l’´ev´enement{X = k} `a l’aide de la variable al´eatoire T et d´eterminez ensuite P(X =k). Montrez que X suit une loi g´eom´etrique et pr´ecisez de quel param`etre.

3. Soity ∈[0,1[. CalculezP({Y ≤y} ∩ {X=k}) pour tout k≥1.

4. D´eduisez-en la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire Y. Comparez avec la probabilit´e trouv´ee `a la premi`ere question.

5. D´eterminez la densit´e de probabilit´e de Y et calculez son esp´erance et sa variance.