Loi de Poisson

G. Viateau

Loi de Poisson

Situation : On s’intéresse au nombre de réalisations d’un évènement durant un intervalle de temps donné, par exemple au nombre d’accidents par jour sur la route Bordeaux - Paris.

Pour simplifier le problème, nous considérerons qu’en moyenne, il y a deux accidents par jour, et que les probabilités d’accidents sont les mêmes tous les jours. On cherche la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X égale au nombre d’accidents en un jour.

Utilisation d’une loi binomiale : On peut se ramener à une loi binomiale d’espérance …….

Pour cela, on peut par exemple découper le jour en minutes.

L’expérience est « on laisse passer une minute, et on regarde s’il y a un accident ou pas ».

Il y a deux issues possibles : il y a un accident (avec une probabilité p) ou pas d’accident. Il s’agit d’une expérience qu’on répète 24 × 60 = 1 440 fois en un jour.

En utilisant ainsi la loi binomiale, on considère que les résultats sont indépendants et qu’il ne peut pas y avoir deux accidents la même minute (ce qui est pourtant possible mais très improbable).

La variable X suit alors une loi binomiale de paramètres n = ………. et p = ………

……… ≈ ………. :

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(X) 0,13515 0,27067 0,27086 0,18057 0,09022 0,03604 0,01199 0,00342 0,00085 0,00019 0,00004 Remarque : Au lieu de découper le jour en minutes, on aurait pu le découper en secondes. On obtient alors une loi binomiale de paramètres n = 86 400 et p = 2/86400 qui donne pratiquement les mêmes résultats :

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(X) 0,13533 0,27067 0,27067 0,18045 0,09022 0,03609 0,01203 0,00344 0,00086 0,00019 0,00004 Utilisation de la loi de Poisson : En 1837, Siméon Denis Poisson, professeur à l’école Polytechnique, publie un important mémoire sur les probabilités dans lequel il montre que lorsque n est très grand et p est très petit, on peut remplacer la loi binomiale de paramètres n et p par la loi (dite aujourd’hui de Poisson) de paramètre λ = np définie par p(X=k) = e

λ

k!

.

Sur notre exemple, on utilise une loi de Poisson de paramètre λ = np = 2. On obtient :

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(X) 0,13534 0,27067 0,27067 0,18045 0,09022 0,03609 0,01203 0,00344 0,00086 0,00019 0,00004 On constate qu’effectivement, les probabilités obtenues avec la loi de Poisson sont très proches de celles obtenues avec la loi binomiale… et plus n est grand et p petit, plus la loi binomiale se rapproche de la loi de Poisson.

La probabilité (à 10

près) qu’il n’y ait pas d’accident dans une journée est : p(X=…) = …………

La probabilité qu’il y ait exactement deux accidents dans une journée est : ..……….

La probabilité qu’il y ait 4 accidents ou plus en un jour est de : ……….

………..

L’espérance de cette loi de Poisson est : …………

Généralisation : On retiendra que lorsque n est suffisamment grand et p petit, on peut approcher une loi binomiale d’une variable aléatoire X par une loi de Poisson de paramètre λ = np.

Elle est définie par p(X=k) = e

λ

k! .

On peut calculer son espérance, sa variance et son écart type.

On obtient : E(X) = λ et V(X) = λ donc σ(X) = λ

On peut se demander quand on a le droit d’approcher une loi binomiale par une loi de Poisson… mais ce

n’est pas un problème de BTS : ce sera indiqué dans le sujet.

G. Viateau Loi de Poisson : exercices

Exercice 1 : Une secrétaire reçoit en moyenne 3 appels téléphoniques par heure. Quelle est la probabilité qu’elle ne reçoive aucun appel dans l’heure à venir ? Quelle est la probabilité qu’elle reçoive exactement 5 appels dans l’heure ? On prendra comme variable aléatoire X le nombre d’appels reçus dans l’heure et on admettra que X suit une loi de Poisson.

Exercice 2 : Une chaîne de fabrication produit 100 unités par jour. Une variable aléatoire Y désigne le nombre d’unités présentant un défaut dans un lot de 100 unités. Elle suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,03. On approche cette loi par une loi de Poisson.

1) Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson.

2) Déterminer la probabilité que moins de deux unités présentent un défaut.

Exercice 3 : Une usine fabrique des élastiques. 3% de ces élastiques ne sont pas conformes aux exigences de la production. Elles sont conditionnées par paquets de 200. On admet que le choix d’un paquet s’apparente à un tirage avec remise de 200 élastiques. On note X la variable aléatoire qui, à un paquet de 200 élastiques, associe le nombre d’élastiques non conformes.

1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2) On admet que la loi de X peut être très approchée par une loi de Poisson de paramètre λ. Calculer λ et déterminer la probabilité de l’événement E : « il y a au plus 5 élastiques défectueux dans le paquet ».

Exercice 4 : On estime que 4% des enfants ont des complications dues à la varicelle. On note X la variable aléatoire qui, à un groupe de 60 enfants touchés par la varicelle, associe le nombre d’enfants qui ont des complications.

1) Déterminer la loi de probabilité de X. Justifier.

Quelle est la probabilité qu’exactement 2 enfants aient des complications ?

2) On approche la variable aléatoire X par une variable Y qui suit une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette loi. Quelle est la probabilité que moins de 3 enfants aient des complications ?

Loi de Poisson : exercices

Exercice 1 : Une secrétaire reçoit en moyenne 3 appels téléphoniques par heure. Quelle est la probabilité qu’elle ne reçoive aucun appel dans l’heure à venir ? Quelle est la probabilité qu’elle reçoive exactement 5 appels dans l’heure ? On prendra comme variable aléatoire X le nombre d’appels reçus dans l’heure et on admettra que X suit une loi de Poisson.

Exercice 2 : Une chaîne de fabrication produit 100 unités par jour. Une variable aléatoire Y désigne le nombre d’unités présentant un défaut dans un lot de 100 unités. Elle suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,03. On approche cette loi par une loi de Poisson.

1) Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson.

2) Déterminer la probabilité que moins de deux unités présentent un défaut.

Exercice 3 : Une usine fabrique des élastiques. 3% de ces élastiques ne sont pas conformes aux exigences de la production. Elles sont conditionnées par paquets de 200. On admet que le choix d’un paquet s’apparente à un tirage avec remise de 200 élastiques. On note X la variable aléatoire qui, à un paquet de 200 élastiques, associe le nombre d’élastiques non conformes.

1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2) On admet que la loi de X peut être très approchée par une loi de Poisson de paramètre λ. Calculer λ et déterminer la probabilité de l’événement E : « il y a au plus 5 élastiques défectueux dans le paquet ».

Exercice 4 : On estime que 4% des enfants ont des complications dues à la varicelle. On note X la variable aléatoire qui, à un groupe de 60 enfants touchés par la varicelle, associe le nombre d’enfants qui ont des complications.

1) Déterminer la loi de probabilité de X. Justifier.

Quelle est la probabilité qu’exactement 2 enfants aient des complications ?

2) On approche la variable aléatoire X par une variable Y qui suit une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette

loi. Quelle est la probabilité que moins de 3 enfants aient des complications ?