Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson
Soit X une variable al´eatoire discr`ete suivant la loi binomiale B(n;p).
On se place dans le cas o`un →+∞, p→0 et le produit np=a >0.
On a alors, pour 06k 6n,
P(X =k) = Cnk pk(1−p)n−k
= n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1)
k! pk(1−p)n−k soit, en posant np=a ⇐⇒ p= a
n,
P(X =k) = n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1)
k! pk
1− a n
n−k
= nk
1− 1
n 1− 2 n
. . .
1− k−1 n
k! pk(1−p)n−k
= (np)k k!
1− 1
n 1− 2 n
. . .
1− k−1 n
pk(1−p)n−k
Lorsque n →+∞, tous les facteurs
1− i n
, 16i6k−1, tendent vers 1, et donc, P(X=k) ∼
n→+∞
(np)k
k! pk(1−p)n−k De plus,
(1−p)n−k= 1− a
n n−k
= 1− a
n n
1− a n
−k
avec, pourk un entier fix´e,
n→+∞lim
1− a n
−k
= 1 Pour le deuxi`eme terme, on utilise le lemme suivant :
Lemme Soit a∈IR, alors,
n→+∞lim
1− a n
n
=e−a
D´emonstration: On ´ecrit 1− a
n n
=e
nln 1−a n
!
. Lorsque n →+∞, a
n →0, et alors on a ln 1− a
n
∼
n→+∞
−a n. Ainsi,
1− a n
n
=e
nln 1−a n
!
∼
n→+∞e
n −
a n
!
=e−a
On aboutit alors `a :
(1−p)n−k ∼
n→+∞e−a ce qui nous permet d’affirmer que :
P(X =k) ∼
n→+∞
(np)k
k! e−a= ak k!e−a Y. Morel
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Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson 1/2
qui est la probabilit´e de l’´ev´enement ”X = k” lorsque la variable al´eatoireX suit la loi de Poisson P(a) de param`etre λ =a =np.
En pratique, on applique cette approximation d`es quen >50 etp <0,1, ou encore d`es quen >30 etnp <5.
Y. Morel
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