R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE
B. Z IMMERN
Loi de Poisson et loi binomiale dans le calcul des stocks de sécurité
Revue de statistique appliquée, tome 5, n
o3 (1957), p. 99-110
<
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LOI DE POISSON ET LOI BINOMIALE DANS LE CALCUL DES STOCKS DE SÉCURITÉ
par B.
ZIMMERN
Ingénieur
Groupe
de rechercheopérationnelle
de laRégie
RenaultLe calcul des
probabilités
trouve desapplications fécondes
dans la détei,ini- nation des stocks de sécurité.Les ventes d’une
entreprise s’effectuant
eneffet
à des datesplus
ou moinsaléatoires,
le stock (1) deproduits finis
éi)oliiealéatoirement;
si le stock et les aires destockage
ne sont pas assezlargement
dimensionnés, des ordres d’achat nepourront
être
satisfaits
ou lafabrication
sera contrainte de s’arrêterfaute
deplace
pour emnia-gasiner
lesproduits finis;
àl’inverse,
si ces stocks ou ces aires sonttrop largement estimés, l’entreprise
devrasupporter
inutilement decharges financières
souvent consi-. dérables.
L’intérêt du calcul des
probabilités
est depermettre
de lier la loi aléatoire desventes à l’évolution du stock et donc les
pertes
de clientèle ou defabrication
auxcharges
destockage,
donnant ainsi auchef d’entreprise
les moyens de choisir unepolitique
de stock en toute clarté.Dans cette
perspective, l’objet
très limité de cette étude est de tracer unparallèle
entre deux
représentations mathématiques
de ceproblème
de stock lareprésentation poissonnienne
et lareprésentation
binomiale ; et de marquer les domainesd’appli-
cation de l’une et de l’autre. La
représentation poissonnienne ayant déjà
remarqua- blement étéexposée
dans cette revue (2), iln’y
serafait
que de brèvr.sallusions;
par contre, lareprésentation
binomiale seraplus complètement
traitée.On admet couramment dans les
analyses
de stock que l’onpeut représenter
la loi des ventes par une loi de
type poissonnien ;
que, parexemple,
le nombred’appels téléphoniques,
d’ordresd’achats,
de bateaux enfrctnt dans unport pendant
unepériode
donnée est
représentable
par une loi de Poisson.Cette loi suit assez
fidèlement
la réalité de ce que l’onpeut appeler
la vente de détail caractérisée par une clientèle extrêmementnombreuse, trop
nombreuse pour quechaque
clientpuisse
être individuellementrepéré
et que s’établissent avec lui des relations commercialesrégulières;
ce sera dans le cas d’ungrand magasin
ou d’uncentral
téléphonique
dont les clients sechiffrent
parmilliers, chaque
clienteffectuant
ses achats très aléatoireinent et
pouvant
resterplusieurs
semaines ouplusieurs
moissans pri,sser
d’appel
ou d’ordre d’achat.A ce
type
de relation commerciale, onpeut
opposer la vente de gros caractérisée par une clientèlelimitée,
connue « intuitu personnae », et liée aufournisseur
par des contratsplus
ou moinsexplicites qui
tiennentcompte
despossibilités
dufabricant
comme des besoins du client. Ce sont ces relations
qui
lient normalement les~ cellules d’un circuit deproduction : f abricant
àfabricant, producteur
àgrossiste,
adminis-tration de
port
etcompagnies
denagivation,
etc...Ici,
la loi de Poissons’ajuste
malcar elle
implique
un aléatoire absolu des ventesmanifestement incompatible
avec leminimum de
ré,gcclarité
que nécessitent ceséchanges.
Après
avoirmarqué quelques-unes
desincompatibilités
entre la réalité des i;e,ntes de gros et leshgpothéses
queprésuppose
la loi dePoisson,
on tentera de montrer comment il estpossible
d’aborder lesproblèmes
de vente de gros àpartir
dela loi Binomiale et on terminera par une
application simple
à lagestion
de stock dansun réseau de distribution
comprenant grossiste
etdétaillants,
où seront utilisés simul- tanément les deux processus.(1)
Bien que cette étude soit consacrée à l’analyse des stocks matière, elle s’appliquerait àcette forme de stock qu’est l’utilisation partielle d’une
capacité :
capacité d’un centraltéléphoni-
que, d’un port, d’une usine, etc... ’
(2)
On aura grand intérêt à relire l’article publié par M. R. HENON dans la Revue de Sta-tistique
Appliquée,
Vol. III, n° 2, 1955, sous le titre "Gestion des stocks".1. - LOI DE POISSON ET REPRÉSENTATION MATHÉMATIQUE
DES VENTES EN GROS
A - LOI DE POISSON
La loi de Poisson
implique
au moins deuxconséquences incompatibles
avecla réalité des ventes en gros.
1 ° )
UNECLIENTÈLE
PRATIQUEMENT INFINIE OU DES CLIENTS"FANTAISISTES"
Admettre la loi de Poisson pour
représenter
des ventes dans unepériode donnée,
c’est admettrequ’il
existe uneprobabilité
non nulle d’avoir dans cettepériode
une vente totalesupérieure
à tout niveau, aussi élevé soit-il.Or, si la
population
des clients est limitée et si laprobabilité qu’un
client donné passe un ordresupérieur
à un certain niveau est nullelorsque
ce niveaudépasse
un certain montant - si, en d’autres termes, les clients ne sont pas des fantaisistes - laprobabilité
dedépasser
un montant donné de ventependant
unepériode donnée,
devrait être nulle àpartir
d’un certain niveau.2°)
LA CERTITUDE POUR LE FOURNISSEUR DE NE PAS SATISFAIRE UN JOUR LES ORDRES DE SACLIENTÈLE
ET D’AVOIR A MODIFIERALÉATOIREMENT
SON PROGRAMME DE FABRICATIONAdmettre la loi de Poisson, c’est admettre
qu’il
existe uneprobabilité finie,
que la courbe cumulée des ventes s’écarte autant que l’on voudra de la vente moyenne au bout d’un
temps
suffisammentlong (1)
et donc de nepouvoir
unjour
satisfaire tous les ordres de la
clientèle, quel
que soit le stock de sécurité ini-tial,
ou d’arrêter laproduction
faute de commande.(1)
Avec cette loi, l’écart type de la loi de probabilité des ventes cumulées croît comme la racine carrée du temps.Si la loi de Poisson
s’adapte
mal, c’est que cette liberté totaled’achat,
fondement de l’aléatoire de la loi de Poisson estincompatible
avec des rela-tions d’affaires normales
qui impliquent
au contraire un minimum derégularité
sans
laquelle
le fabricant nepourrait
établir ses programmes, ni l’acheteur obtenir lagarantie
d’être livré entemps opportun.
Il existe à la source des rela- tions commerciales courantes une contrainte contractuellementacceptée
que contredit l’aléatoirepoissonnien.
B - LOI BINOMIALE
Régularité
deséchanges
nesignifie cependant
pas déterminisme absolu :aucun acheteur ne peut
prévoir longtemps
à l’avance lesquantités
et les datesexactes de ses commandes. Cette indétermination assure
l’ergodicité
des com-mandes des divers clients les uns par
rapport
aux autres, si bienqu’à
l’échellede la trè s courte
période,
l’arrivée des ordres affecte une allurepoissonnienne.
Ces deux considérations conduisent alors au modèle suivant. Soit
T;
lecycle
moyen de
réapprovisionnement
du client i ; supposons que lescycles
deréappro-
visionnement soient peu
dispersés,
du fait del’ergodicité
des dates de commande et au bout d’untemps
suffisammentlong
pour que les conditions initiales soientoubliées,
laprobabilité
pour que le client i passe commandependant
une courtepériode
serasensiblement dt
Laprobabilité
pour que ce client passe commandeT~
*
t
pendant
unepériode t ----Ti sera-
iPour une courte
période
dt, laprobabilité
sera de formepoissonnienne,
maispour t =
Ti
on aura la certitude que le client ait commandé une fois et une fois seulement.A
partir
de cemodèle,
connaissant lescycles
deréapprovisionnement Ti
les lots de
réapprovisionnement
xi des divers clients i, il est alorspossible
decalculer la loi de
probabilité
que suit la somme des commandes et en déduire unepolitique
de stock.Le calcul sera successivement effectué pour le cas
plus simple :
clientsidentiques Ti =
T, xi = x,puis
pour le cas où les clients ont mêmecycle
maislots différents et enfin pour le cas
général
où lescycles
eux-mêmesdiffèrent.
Il.
.APPLICATION D’UN MODÈLE BINOMIAL
A L’ÉTUDE DES VENTES EN GROS
A - TOUS LES CLIENTS SONT
IDENTIQUES 1 °)
ETUDE DE LA LOI DES VENTESDans le cas le
plus simple,
les N clients d’un fabricant seréapprovisionnent
par
quantités égales
x et àfréquence égale 1/T.
Soit
P(X,t)
laprobabilité
pour que le total des ventes dans lapériode
t soitcompris
entre X et X+dX et 1>(w , t )
sa fonctioncaractéristique.
La variable aléatoire X étant la somme de variables aléatoires
indépendan-
tes x, on a immédiatement :
Cette fonction
caractéristique
est bien celle de la loi binomiale.Sa variance que l’on
peut
recalculer en écrivantCette formule montre
que :
a)
la loi deprobabilité
de la demandecumulée,
enfonction
dutemps,
affecte la forme d’une ondeparabolique
dont les noeuds sont situés auxépoques
hT(h
entierpositif).
°
La demande cumulée
s’ajuste
biencycliquement
à laproduction
constante cumulée dufabricant.
’ ’
b)
Pour les courtespériodes d’observation,
la loi de Poisson esttangente
àla loi obtenue.
En
effet, pour t
Tpetit ~2ru t
TNx2 qui
est la vente moyenne et donc la va-riance de la loi de Poisson on retrouve ainsi que, pour une courte
période
d’observation l’arrivée des commandes
présente
une allurepoissonnienne.
Mais si l’on étendait cette loi à des
périodes plus longues,
parexemple
àt = T, on obtiendrait une variance
égale
àNx2
alorsqu’avec
la loibinomiale,
le maximumNx2
de la variance( obtenue
en annulant sa dérivée parrapport à t
Test
s eul em ent
4
4Une
politique
destockage,
fondée ainsiqu’il
est courant de le faire sur la sécurité que confère un stock initialégal
à un, deux ou trois écarts types, auraitconduit,
par la1oi
de Poisson, à un stock double de celui que l’on obtient par la loi binomiale.2°)
APPLICATION A LADÉTERMINATION
D’UN STOCK DESÉCURITÉ
Dans
l’industrie,
il faut déterminer couramment, des niveaux initiaux de stock tels quequelle
que soit l’arrivée aléatoire descommandes,
leproducteur
soit assuré d’une certaine
probabilité
de ne pas faire attendre ses clients( 1).
Si la loi de la demande cumulée est bien
binomiale,
il est en effet assuré de satisfaire sa clientèle au terme dechaque période quel
que soit son stockinitial,
mais avec unrisque
d’attente d’autantplus
faible que le stock initial seraplus élevé.
Evolution des lois
Pi
en fonctionde T
TRépondre
auproblème
c’est donner soit unecorrespondance
entre le stockinitial et la
probâ~bilité
que le stock tombe à zéro(que
les clientsattendent),
soitune
correspondance
entre le stock initial etl’espérance mathématique
de l’attentedes clients. La
première présentation s’impose
si l’attente d’unclient est inadmis- sible(analogue
aurisque
de ruine pour lejoueur),
la seconde si elle est admissi-ble mais entraine une
pénalité proportionnelle
à la demande moyenne en attente(on ajouterait
cettepénalité
auxcharges
destockage
afin de déterminer le niveau du stock de sécuritéqui
assure unecharge
financière totaleminimum).
a)
Soit à calculer tout d’abord laprobabilité
de tomber en défaut de stock etde fai re attendre des clients.
Soit
.P~(X,t)
la loi binomiale des écarts de la demande à la demande moyenne,(la
loiPt
est la loi Pcentrée)
dont l’écarttype
a été calculésoit
Xo
le stock initial.(1)
On traiterait de même le problèmesymétrique :
calcul des aires de stockage permettant d’absorber et de ne pas stopper la fabrication si la demande se présente avec du retard. La som-me des aires de stockage, clientèle, production, déterminerait la capacité de stockage à prévoir
entre la fabrication et la clientèle, le stock lui-même oscillant entre ces limites de stockage.
La
probabilité
de tomber en défaut de stock est :Il faut donc connaître la loi
Q(X)
valeur moyenne parrapport
autemps
de la loiP,(X,t).
Cette loi est calculable et il serait
possible
d’en établir des tables. Mais ilest
plus simple
de l’encadrer par des lois binomiales,simples
àintégrer
etdont le s écarts
types
sont peu différents.En
premier lieu,
il estapparent
que : 1Ceci est visible sur le
graphique précédent. Mathématiquement,
on a :1 T
quel
que soit t du fait que la loi.P(Xt-)
Z est cellequi
admet leplus grand
écart-type; d’où,
enintégrant l’inégalité
parrapport
autemps
Par ailleurs, l’étude des
premiers
moments deQ(X)
montre que ses mo-ments d’ordre 3 ou
supérieurs
à 3 sontplus
élevés que la loi binomiale admettant même variance queQ (X).
La variance de
Q(X) intégrale
de la variance dePt
parrapport
autemps
est:Celle de
PI (X-~-) déjà
calculéeest Nx2
donc,
endésignant
parB(X, o’2)
une loi binomiale centrée devarianceo*~,
on a :On peut donc encadrer la
probabilité
de nullité du stock parl’intégration
dedeux lois binomiales
(ou
lois de Gauss si le nombre de clients est suffisammentgrand
et que les deuxtypes
de loipeuvent
êtreidentifiés) d’écarts-types
peu dif-férents.
b)
Pour le calcul de la demande moyenne en attente D on auraiton démontrerait même que : 1
On a tracé les courbes
correspondantes
deprobabilité
etd’attente,
les unités de stocks ou d’attente moyenne étant évaluées en x~n(cf. Fig.
1 et2)(l’approxi-
mation
gaussienne
des lois binomiales a étéappliquée).
c) Cycles
deréapprovisionnement identiques ;
lots deréapprovisionnement
différents.
Soit T le
cycle
commun deréapprovisionnement
t la
période d’observation,
g (xi )
la loi de distribution du lot deréapprovisionnement
du client i,Xi
la valeur moyenne de ce lot,Yi
(w)
la transformée de Fourier deg (xi)
P (X,t)
la loi de distribution de la demandetotale, (~ (w,t)
sa fonctioncaractéristique.
D’après
le théorème sur l’addition des variances aléatoiresLa loi
P (X,t)
peut donc être connue à travers ses divers moments dujour
oùsont connue s le s lois
g (xi) :
Figure 1
Demande moyenne en attente D en fonction du stock de sécurité initial S
Figure 2
Probabilité P que le stock s’annule
en fonction d’un stock initial S
On retrouve la
cyclicité
de la loiP(X,t)
par rapport à t mais l’écarttype
maximum est obtenu pour(et
nonpour t -
T1/2)
et
On
peut
doncthéoriquement
calculerMais,
enpratique,
les informations sur la clientèle sont suffisamment in- certaines pour que l’onpuisse
se ramener au cas duparagraphe
1 en encadrantla loi
Q(X)
par deux lois binomiales(ou
de Gauss si le nombre des clients est suffisammentimportant)
dont les variances seraient(c’est admettre
en fait que le lot deréapprovisionnement
du client i estfixe,
donc quey’;’(0)
=Y; (~) ~
d)
Périodes et lots deréapprovisionnement
différentsSoit
p (X,2013~-)
la loi deprobabilité
centrée du client ipendant
lapériode
tTi
~’;(~,2013)
sacaractéristique fi T;
i sa caracte rlS lq uePi (X,t)
la loi centrée de la demande totale -~; (w ,t)
sacaractéristique (~; =17; c~ i~
Q la loi moyenne de
probabilité
tirée deP (X,t) :
X sa
caracté ristique
La loi
P1
est en fonction dutemps
une loicomplexe
car sa variance est lasomme des variances élémentaires de fonction
pi
decycles différents.
Il est
cependant possible
de calculer la fonctionQ(X)
et de l’encadrer entre deux loismajorantes
et minorantes.En
effet,
si lesTi
sont distribués defaçon quelconque,
lescycles
des fonc-tions
pi
sontergodiques
les uns parrapport
aux autres le les valeursk; = Ti t T;
peuvent
être à un instant donné considérées comme des variables aléatoiresindépendantes
distribuées uniformément entre 0 et 1.Dans ces conditions
Donc
Q(X)
est la loi de distribution d’une somme de variables aléatoires distribuées suivant les valeurs moyennes dans letemps
des fonctionsp(x ,20132013)
soit -.
T’
1On
pourrait
donc calculerQ(X)
apartir
des fonctions p~(x,2013) T~
1*qui
se dé-duisent aisément des lois de distribution y~
(xi ) ( 1 )
enpassant
par les fonctionscaractéristique
s .Mais comme au
paragraphe
1, il estplus simple
d’encadrerQ(X)
par deux loismajorantes
et minorantes.Les variances de
qi (x)
et deP?(x,2013)
2étant ’ ’ ~ /~
et, ~I~ ~)
~d’après
la dé -6c~~ (0) 4c~i (0)
monstration du
§
1, on auraIl est immédiat que cette
inégalité
subsistelorsque
l’on additionne les varia- bles aléatoires xi.d’où :
3 ° )
CONCLUSIONCes
analyses
montrentqu’en pratique
on pourra encadrer laprobabilité
detomber en défaut de stock ou
l’espérance mathématique
d’attente des ordres decommande,
en utilisant les courbesfigurant au §
-1 et enremplaçant,
si besoinest
(clients
dont les ordres de commande sonttrop différents),
l’échellegraduée
en
x N par
la même échellegraduée eny~~, (2).
(1) Il
est à remarquer que les cycles individuelsTi
ne jouent aucun rôle dans la distribution deQ(X).
Ce résultat est à rapprocher des valeurs obtenues pour les variances des lois minoran- tes et majorantes deQ(X) (cf. infra).
Il se produit un phénomène analogue à l’addition des puis-sances d’ondes de périodes différentes
en électricité:
quelles que soient les fréquences des ondes,la puissance maximum est
égale
à la somme des puissances maxima et la puissance efficaceégale
à la somme des puissances efficaces des ondes composantes.(2)
On rappelle quexi
est le lot moyen de réapprovisionnement du client i.III. APPLICATION DE LA LOI DE POISSON ET DE LA LOI BINOMIALE A LA DÉTERMINATION D’UNE POLITIQUE DE RÉAPPROVISIONNEMENT
DANS UN RÉSEAU DE DISTRIBUTION
(I)Considérons un réseau de distribution formé d’un
magasin
central MC ap-provisionnant
N détaillants deprovince d’importance
sensiblementcomparable
D. P.Ces détaillants se
réapprovisionnent
àfréquence
sensiblement constante pourchaque produit
vendu,fréquence
dontl’optimum peut
être calculé avec la théorie des sérieséconomiques (compromis
entre le coût administratif deréapprovision-
nement et les
charges
destockage).
Soit x la sérieéconomique
deréapprovision-
nement
exprimée
en nombre d’unités duproduit considéré.
Le
magasin
centralpeut imposer
deuxpolitiques
deréapprovisionnement
auxdétaillants : soit leur demander de passer un ordre x
quand
leur stock deviendra nul(2)
soit passer àdates fixes unordre d’achatégal
àcelui de lapériode
écouléede manière à reconstituer leur stock. La
première
solution est unepolitique
deréapprovisionnement par quantités
fixes àdatesplus
ou moins variables en raison de l’écoulement aléatoire des ventes audétail,
la seconde unepolitique
deréapprovisionne ment
parquantités
variables à dates fixes.La
première politique
a l’inconvénientd’obliger
le M.C. à constituer unstock de
séçurité plus
ou moinsimportant
pour faire face à l’accumulationcyclique
des commandes deplusieurs
clients(schéma binomial) ;
laseconde,
l’inconvénient
d’obliger
le détaillant à constituer, en dehors du stock courant, un stock de sécurité pour faire face à des ventesexceptionnellement
élevées entredeux dates de
réapprovisionnement (schéma poissonnien).
En
supposant
que dans l’un et l’autre cas, les ventes soient suffisammentimportantes
pour que l’onpuisse approximer
la loi de Poisson ou la loi binomiale(1)
Le schéma suivant n’a pas la prétention d’être une étude complète; bien qu’ayant servi àdes recherches pratiques, il a simplement pour but d’illustrer l’utilisation respective de la loi binomiale et de la loi de Poisson.
(2)
On suppose que les délais de réapprovisionnement sontnégligeables;
on pourrait intro-duire ce délai sans grande complication.
par une loi de Gauss, les stocks nécessaires au M.C. dans un cas, aux D.P.
dans l’autre seront, pour une même sécurité de satisfaire la clientèle :
(k
fois l’écarttype
dechaque loi).
Les deux
politiques
serontéquivalentes
pour4 N x 6 N Soit xtv 5 N
pour x5N il est
préférable d’adopter
lapolitique quantités fixes,
date varia -ble et de mettre le stock de sécurité au
magasin
central.pour x > 5N il est
préférable d’adopter
lapolitique quantités variables,
date fixe et deplacer
le stock de sécurité chez les détaillants(1).
La différence des 2 courbes
indique
l’accroissement du stock si l’on setrompe
depolitique.
Et c’est
peut
être leproblème :
centralisation oudécentralisation(des stocks)
que l’on retrouve au travers et au-delà de cette
mathématique.
(1)
On pourrait améliorer cette politique en utilisant unestratégie
mixte : coefficient de sécurité moins élevé pour les stocks de sécurité des détaillants, mais possibilité de se réappro-visionner en