Loi binomiale
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Rappel
La loi binomiale correspond à la situation suivante :
• on réalise une expérience aléatoire un certain nombre n de fois consécutivement de façon indépendante ;
• l’expérience n’a que deux issues possibles que l’on peut donc appeler succès pour l’une, et échec pour l’autre (mais ça dépend du point de vue…) ;
• pour chaque réalisation de l’expérience, la probabilité que l’issue soit un succès est p ;
• on s’intéresse au nombre de fois que le résultat va être un succès parmi les n tentatives.
Dans ce contexte si on note X le nombre de succès parmi les n réalisations de l’expérience aléatoire, alors on dit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et alors :
• pour tout entier k entre 0 et n, P(X=k) =
n
k ×pk×(1−p)n−k
• à la calculatrice, pour tout entier k entre 0 et n, P(X=k) = binomFdp(n ; p ; k)
• à la calculatrice, pour tout entier k entre 0 et n, P(XÂk) = binomFRep(n ; p ; k)
• en particulier P(X=n) = pn (uniquement des réussites) et P(X=0) = (1−p)n (uniquement des échecs)
• E(X) = np
• Var(X) = np(1−p)
Exercices
1) Au cours d’une semaine, Stéphane se rend six fois en classe. On admet que le fait qu’il entende son réveil sonner un jour de classe n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les jours suivants, et qu’il ; ne l’entend pas sonner en moyenne un jour sur dix. Chaque fois qu’il ne l’entend pas il est en retard, et quand il l’entend il est à l’heure.
Calculer la probabilité que Stéphane soit en retard deux jours au cours d’une semaine, puis la probabilité qu’il entende le réveil au moins deux fois au cours d’une semaine.
En moyenne, combien de fois par semaine entend-il son réveil sonner ?
2) Déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité d’obtenir au moins une fois la face n°1 sur n lancers successifs et indépendants d’un dé tétraédrique bien équilibré, soit supérieure à 0,999.
3) Sur son trajet, Monsieur Dubois rencontre sept feux tricolores non coordonnés. A son arrivée devant un feu, la probabilité qu’il soit contraint de s’arrêter est de 1
3 (feu orange ou rouge). On suppose que l’état des différents deux est indépendant de celui des autres.
a) Calculer la probabilité, qu’un jour donné, M. Dubois effectue son trajet sans aucun arrêt aux feux.
b) Calculer la probabilité, qu’un jour donné, M. Dubois s’arrête au moins une fois à un feu durant son trajet.
c) Calculer la probabilité, qu’un jour donné, M. Dubois s’arrêt exactement à deux feux durant son trajet.
d) Calculer la probabilité, qu’un jour donné, M. Dubois doive s’arrêter à chacun des feux durant son trajet.
Corrections
1) Ici l’expérience aléatoire c’est le réveil. Il y a deux issues : Stéphane l’entend (probabilité 0,1) ou pas (probabilité 0,9). Et on répète six fois dans la semaine cette expérience de façon indépendante (c’est ce qu’affirme l’énoncé). On peut soit compter le nombre de fois, au cours d’une semaine, qu’il va entendre le réveil (loi binomiale de paramètres 6 et 0,9) ou le nombre de fois qu’il ne l’entendra pas (loi binomiale de paramètres 6 et 0,1).
Fixons les idées en notant X le nombre de fois où il l’entend. X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 6 et p = 0,9.
On cherche ainsi :
• P(X=4) =
6
4 ×0,94×0,12 ou binomFdp(6 ; 0,9 ; 4) % 0,098415.
• P(XÃ2) = 1−P(X<2) = 1−P(XÂ1) = 1−binomFRep(6 ; 0,9 ; 1) % 0,999945.
ou alors : P(XÃ2) = 1−P(XÂ1) = 1−P(X=0)−P(X=1) = 1−0,16−
6
1 ×0,91×0,15
= 1−0,16−6×0,9×0,15% 0,999945.
• E(X) = np = 6×0,9 = 5,4 (donc il entend le réveil en moyenne 5,4 fois par semaine).
2) La variable aléatoire X qui compte le nombre de face n°1 parmi les n lancers, suit une loi binomiale de paramètres n et 1
4.
De plus P(XÃ1) = 1−P(X=0) = 1−
3 4
n
= 1−0,75n. On cherche donc n tel que 1−0,75n à 0,999.
Version sans logarithme : à la calculatrice on constate que 1−0,7524 < 0,999 et que 1−0,7525à 0,999 ainsi 1−0,75nà 0,999 ñ n à 25.
Version avec logarithme : 1−0,75n à 0,999 ñ 0,001 à 0,75n ñ ln(0,001) à nln(0,75) ñ n à ln(0,001)
ln(0,75) (car ln(0,75) < 0) ñ n à 24,011 ñ n à 25.
3) Ici l’expérience aléatoire c’est un feu. Il y a deux issues : Monsieur Dubois peut passer (probabilité 2 3) ou pas (probabilité 1
3). Et on répète sept fois sur le trajet cette expérience de façon indépendante. On peut soit compter le nombre de fois, au cours du trajet, qu’il va devoir s’arrêter (loi binomiale de paramètres 7 et 1
3) ou le nombre de fois qu’il pourra passer sans s’arrêter (loi binomiale de paramètres 7 et 2
3).
Fixons les idées en notant X le nombre de fois où il s’arrête. X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 7 et p = 1
3. a) P(X=0) =
2 3
7
% 0,0585 b) P(XÃ1) = 1−P(X=0) = 1−
2 3
7
% 0,9415 c) P(X=2) = binomFdp(7 ; 1
3 ; 2) % 0,3073 ou
7 2 ×
1 3
2×
2 3
5
% 0,3073.
d) P(X=7) =
1 3
7
% 0,0005.
