Loi Binomiale
Première
I Loi de Bernoulli et loi binomiale
I.1 Loi de Bernoulli
Soit une expérience aléatoire présentant deux issues :
• l’uneS: « succès » de probabilitép;
• l’autreS: « échec » de probabilité(1−p).
• La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli.
• La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelé loi de Bernoulli de paramètrep.
xi 0 1
p(X=xi) 1−p p
Remarque : cette loi porte le nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705).
Définition 1(Loi de Bernoulli)
Si la variable aléatoireXsuit une loi de Bernoulli de paramètrespalors son espérance est : E(X) =p
Propriété 1
Preuve :
E(X) = 0×(1−p) + 1×p=p I.2 Schéma de Bernoulli et loi binomiale
• L’expérience aléatoire qui consiste à répéternfois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètreps’appelle un schéma de Bernoulli de paramètrenetp.
• La loi de probabilité de la variableXégale au nombre de succès au cours de cesnépreuves se nomme laloi binomialede paramètresnetp.
• La loi loi binomiale de paramètresnetpse note : B(n; p) Définition 2(Loi de Binomiale)
Remarque : L’indépendance est assurée dans le cas de tirages successifs et avec remise, que l’on appelletirages non exhaustifs.
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II Un exemple de loi Binomiale
Exemple 1 : Point Bac
La chaîne de production d’une usine fabrique 100 000 pièces par jour. La probabilité pour qu’une pièce soit jugée sans défaut est 0,9. On extrait de cette production un échantillon de taille 3. Le nombre de pièce de la production est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un « tirage avec remise ». On appelleXla variable aléatoire comptant le nombre de pièces sans défaut dans cet échantillon. Montrer que Xsuit une loi binomiale, déterminer les paramètres et calculerP(X= 1).
• Modélisation
Il y a répétition den= 3événements indépendants et identiques (on tire une pièce).
Chaque tirage a deux issues possibles (épreuve de Bernoulli) : – succès de probabilitép= 0,9quand une pièce est sans défaut ; – et échec de probabilité1−p= 0,1sinon.
Donc la variable aléatoireX qui est égale au nombre de succès au cours de cesn = 3épreuves indépendantes de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètresn= 3etp= 0,9.
XsuitB
3 ; 0,9
ouX ∼B
3 ; 0,9 . Méthode 1(Rédaction type)
S p
p S
p S
1−p S
1−p S
p S
1−p S
S 1−p
p S
p S
1−p S
1−p S
p S
1−p S
• Calcul.
– La probabilité d’avoir un succès et un seul sur les trois tirages estP(X= 1). – Les issues formées d’un succès sont :
S S S ; S S S; S S S – On obtient alors :
P(X = 1) = 3×p×(1−p)2
= 3×0,9×(0,1)2 P(X = 1) = 0,027
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III Coefficients binomiaux et loi binomiale
III.1 Coefficients binomiaux
Soitnun entier non nul etkun entier compris entre 0 etn.
Le coefficient binomiale noté n k
! est :
• le nombre de chemins réalisantksuccès pournrépétitions dans l’arbre d’un schéma de Ber- noulli.
• c’est aussi le nombre de combinaisons dekéléments parmin.
• c’est aussi le nombre de façons de choisirkéléments parmin.
Définition 3
Exemples :
• n 0
!
= 1; n 1
!
=n; n n
!
= 1, et par convention : 0 0
!
= 1.
• On peut aussi utiliser le «triangle de Pascal» (des compléments sur www.math93.com) :
III.2 Calcul des Coefficients binomiaux On peut utiliser la calculatrice :
Casio Texas Numworks
1. Touche OPTN 1. Touche MATH 1. Touche Toolbox (paste) 2. puis⊲ 2. choisirPRB 2. choisirDénombrement 3. puisPROB 3. puisCombinaison 3. puisBinomial(n,k) 4. puisnCr
nnCrk nCombinaisonk
Exemples :
• 12 5
!
= 792; 20 8
!
= 125 970; 30 7
!
= 2 035 800.
• 5 0
!
= 1; 5 1
!
= 5; 5 2
!
= 10; 5 3
!
= 10; 5 4
!
= 5; 5 5
!
= 1.
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III.3 Formule générale de la loi binomiale
Si la variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètresnetp, alors pour tout entierkcompris entre0etn:
P(X=k) = n k
!
×pk×(1−p)n−k
De plus l’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètresnetpest : E(X) =n×p
Propriété 2
III.4 Calcul pratique deP(X = k)etP(X ≤ k)
On peut utiliser la calculatrice. Sur laNumworksc’est très simple grâce au menu Probabilité. Sinon :
Casio Texas Excel
Syntaxe 1. Touche OPTN 1. Menudistrib 2. choisirSTAT 2. Touche 2nde var
3. puisDISTB 3. puis choisirbinomFdp( Fonction LOI.BINOMIALE 4. puisBdpouBcd oubinomFrép(
P(X=k) BinomialPD(k, n, p) BinomFdp(n, p, k) =LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;FAUX) P(X≤k) BinomialCD(k, n, p) BinomFRép(n, p, k) =LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;VRAI) Remarque : attention à l’ordre selon votre calculatrice,(k, n, p)sur Casio mais(n, p, k)sur Texas.
Exemples
• AvecXqui suit la loiB(n= 5 ; p= 0.3)on a :
k 0 1 2 3 4 5
P(X =k) 0.16807 0.36015 0.3087 0.1323 0.02835 0.00243 P(X ≤k) 0.16807 0.52822 0.83692 0.96922 0.99757 1
• AvecXqui suit la loiB(n= 8 ; p= 0.2)on a :
k 0 1 2 3 4 5
P(X =k) 0.16777216 0.33554432 0.29360128 0.14680064 0.0458752 0.00917504 P(X ≤k) 0.16777216 0.50331648 0.79691776 0.9437184 0.9895936 0.99876864
k 6 7 8
P(X=k) 0.00114688 0.00008192 0.00000256 P(X≤k) 0.99991552 0.99999744 1
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