Loi binomiale

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Loi binomiale

Xavier Hallosserie

Lycée Blaise Pascal

avril 2016

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Sommaire

1.Épreuve et schéma de Bernoulli 1.1 Épreuve de Bernoulli 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Schéma de Bernoulli

2.La loi binomiale

2.1 Définition de la loi binomiale 2.2 Coefficients binomiaux

2.3 Espérance et variance de la loi binomiale

3.Propriétés des coefficients binomiaux 3.1 Cas particuliers

3.2 Symétrie des coefficients 3.3 Triangle de Pascal

4.Échantillonnage et prise de décision 4.1 Intervalle de fluctuation

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Sommaire

2.La loi binomiale

4.2 Règle de décision

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Définition 1

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès, notée S, de probabilité p,

l’autre appelée échec, notée S, de probabilité 1

−

p.

S 1 − p

p S

Exemple :

Le lancer d’une pièce équilibrée est une expérience de Bernoulli. Si le « succès » est

l’obtention de pile, « l’échec » sera l’obtention de face.

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Définition 1

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès, notée S, de probabilité p,

l’autre appelée échec, notée S, de probabilité 1

−

p.

S 1 − p

p S

Exemple :

Le lancer d’une pièce équilibrée est une expérience de Bernoulli. Si le « succès » est

l’obtention de pile, « l’échec » sera l’obtention de face.

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Sommaire

2.La loi binomiale

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Définition 2

La loi de probabilité ci-dessous est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.

issue succès (S ) échec S

probabilité p 1

−

p

Exemple :

Le lancer d’une pièce équilibrée suit une loi de Bernoulli de paramètre 0, 5.

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Définition 3

Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que P (X = 1) = p ;

P(X = 0) = 1

−

p.

On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (on le note « X suit

B(p)

»).

k 1 0

P(X = k) p 1

−

p

Propriété 1

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors :

son espérance mathématique est E(X ) = p ;

sa variance est V (X) = p(1

−

p).

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Définition 3

Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que P (X = 1) = p ;

P (X = 0) = 1

−

p.

On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (on le note « X suit

B(p)

»).

k 1 0

P(X = k) p 1

−

p

Propriété 1

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors :

son espérance mathématique est E(X ) = p ;

sa variance est V (X) = p(1

−

p).

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Définition 3

Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que P (X = 1) = p ;

P (X = 0) = 1

−

p.

On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (on le note « X suit

B(p)

»).

k 1 0

P(X = k) p 1

−

p

Propriété 1

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors : son espérance mathématique est E(X ) = p ;

sa variance est V (X) = p(1

−

p).

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Définition 3

Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que P (X = 1) = p ;

P (X = 0) = 1

−

p.

On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (on le note « X suit

B(p)

»).

k 1 0

P(X = k) p 1

−

p

Propriété 1

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors : son espérance mathématique est E(X ) = p ;

sa variance est V (X) = p(1

−

p).

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Sommaire

2.La loi binomiale

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Définition 4

Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et

indépendantes.

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Sommaire

2.La loi binomiale

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Sommaire

2.La loi binomiale

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Définition 5

On considère un schéma de Bernoulli constitué de n épreuves et on note X la variable aléatoire égale au nombre de succès.

La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est notée

B(n

; p).

Exemple :

On lance trois fois successivement un dé à 6 faces. On appelle succès l’événement

« obtenir la face 1 ».

S 1 S 5 6

6 S

S S 5 6 1 S 6 5 6

S S 5 6 1 S 6 1 6

1 6

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Sommaire

2.La loi binomiale

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Propriété 2

Pour tout entier k, 0

6

k

6

n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté n

k

(lire « k parmi n »). Ces nombres sont appelés les

coefficients binomiaux.

Propriété 3

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors pour tout entier k, avec 0

6

k

6

n,

P (X = k) = n

k

p

^k

(1

−

p)

^n−k

.

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Sommaire

2.La loi binomiale

(20)

Propriété 4

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors : son espérance mathématique est E(X ) = np ;

sa variance est V (X) = np(1

−

p) ; son écart-type est σ(X ) = p

np(1

−

p).

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Propriété 4

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors : son espérance mathématique est E(X ) = np ;

sa variance est V (X) = np(1

−

p) ;

son écart-type est σ(X ) = p

np(1

−

p).

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Propriété 4

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors : son espérance mathématique est E(X ) = np ;

sa variance est V (X) = np(1

−

p) ; son écart-type est σ(X ) = p

np(1

−

p).

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Sommaire

2.La loi binomiale

(24)

Sommaire

2.La loi binomiale

(25)

Propriété 5

Pour tout entier n, n

>

1, n

0 = 1 et n

n

= 1.

Preuve :

Un seul chemin ne réalise aucun succès et un seul chemin réalise n succès.

(26)

Sommaire

2.La loi binomiale

(27)

Propriété 6

Pour tous entiers n et k, n

>

1 et 0

6

k

6

n, n

k

= n

n

−

k

.

Preuve :

Il y a autant de chemins qui réalisent k succès que de chemins qui réalisent k échecs,

c’est à dire n

−

k succès.

(28)

Sommaire

2.La loi binomiale

(29)

Propriété 7

Pour tous entiers n et k, n

>

1 et 0

6

k

6

n

−

1, n

k

+ n

k + 1

= n + 1

k + 1

.

Preuve :

n + 1

k + 1

est le nombre de chemins réalisant k + 1 succès sur n + 1 épreuves.

Parmi ceux là il y en a : n

k

qui commencent par un succès ;

n k + 1

qui commencent par un échec.

(30)

Propriété 7

Pour tous entiers n et k, n

>

1 et 0

6

k

6

n

−

1, n

k

+ n

k + 1

= n + 1

k + 1

.

Preuve :

n + 1

k + 1

est le nombre de chemins réalisant k + 1 succès sur n + 1 épreuves.

Parmi ceux là il y en a : n

k

qui commencent par un succès ; n

k + 1

qui commencent par un échec.

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(32)

Sommaire

2.La loi binomiale

(33)

Dans une population, on suppose qu’un caractère est présent dans la proportion p.

Pour juger de cette hypothèse, on prélève au hasard et avec remise, un échantillon de taille n et on calcule pour cet échantillon la fréquence f du caractère étudié.

On cherche à savoir pour quelles valeurs de f, on peut décider d’accepter ou de rejeter l’hypothèse.

population proportionp?

(34)

Dans une population, on suppose qu’un caractère est présent dans la proportion p.

Pour juger de cette hypothèse, on prélève au hasard et avec remise, un échantillon de taille n et on calcule pour cet échantillon la fréquence f du caractère étudié.

On cherche à savoir pour quelles valeurs de f, on peut décider d’accepter ou de rejeter l’hypothèse.

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Dans une population, on suppose qu’un caractère est présent dans la proportion p.

Pour juger de cette hypothèse, on prélève au hasard et avec remise, un échantillon de taille n et on calcule pour cet échantillon la fréquence f du caractère étudié.

On cherche à savoir pour quelles valeurs de f, on peut décider d’accepter ou de rejeter l’hypothèse.

échantillon fréquencef

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Sommaire

2.La loi binomiale

(37)

La v.a. X égale au nombre d’individus de l’échantillon qui présentent le caractère étudié suit la loi binomiale de paramètre n et p. On partage l’intervalle

h 0 ; n

i en trois intervalles h

0 ; a

−

1 i , h

a ; b i , h

b + 1 ; n i

de façon à ce que : p(X

6

a

−

1)

6

0, 025

p(X

>

b + 1)

6

0, 025

Pour cela on détermine a et b de la façon suivante : Définition 6

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence f est l’intervalle h _a n ; b

n i

où : a est le plus petit entier tel que p(X

6

a) > 0, 025 ;

b est le plus petit entier tel que p(X

6

b)

>

0, 975.

(38)

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2.La loi binomiale

(39)

Si f

∈