Loi Binomiale

Activit´e d’introduction Premi`ere S1

Loi Binomiale

L

´

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules vertes

Une exp´erience consiste `a extraire une boule de l’urne et `a noter sa couleur On note ”R” l’´ev´enement : On a obtenu une boule rouge

On note ”S” l’´ev´enement : On a obtenu une boule verte

Compl´eter : p(R) =· · · · etp(V) =· · · · Information 1

Une telle ´epreuve qui pr´esente deux ´eventualit´es , l’une que l’on appellera ”succ`es” de probabilit´e p et l’autre ”´echec” de probabilit´eq = 1−p est appel´ee Epreuve de Bernoulli

Information 2

Dans la pratique, on associe `a une ´epreuve de Bernoulli la variable al´eatoire qui vaut 1 si on a obtenu un succ`es et 0 si l’on a obtenu un ´echec.

Ce type de variable al´eatoire est appel´e Loi de Bernoulli

Une loi de Bernoulli est donc une variable al´eatoire qui prend deux valeurs 1 et 0 avec les probabilit´es :

p[X= 1] =p p[X= 0] = 1−p

O

4

On d´ecide de r´ep´eter 4 fois l’´epreuve de Bernouillien reconstituant l’urne apr`es chaque tirage.

On s’int´eresse alors au nombre de boules rouges obtenues apr`es les quatre tirages.

1. Combien peut-on obtenir de boules rouges dans cette exp´erience al´eatoire ?

2. Compl´eter l’arbre de probabilit´e (annexe 1 page suivante) en mettant sur les branchesles probabi- lit´eset en bout de branche le nombre de boules rouges obtenues

3. Compl´eter alors le tableau ci -dessous :

Nbre de boules rouges 0 1 2 3 4

Probabilit´e

4. Construire alors un diagramme en bˆaton pour illustrer les r´esultats trouv´es : (annexe 2 page suivante) 5. On noteX la variable al´eatoire qui donne le nombre de boules rouges obtenues.

Justifier `a l’aide de l’arbre de la probabilit´e les expressions suivants : n P[X= 3] = 4×0,3³×0,7¹

n P[X= 2] = 6×0,3²×0,7²

1 7 avril 2017

Activit´e d’introduction Premi`ere S1

Annexe 1 :

R

R

R

R V

V

R V

V

R

R V

V

R V

V

R

R

R V

V

R V

V

R

R V

V

R V Annexe 2 :

0 1 2 3 4

0.2 0.4 0.6 0.8

2 7 avril 2017

Activit´e d’introduction Premi`ere S1

A

´

Nous allons , dans cette activit´e simuler le tirage successif de 10 boules (Avec remise de la boule tir´ee apr`es chaque tirage) `a l’aide d’un tableur.

Avec remise de la boule tir´ee `a chaque ´etape

1. dans la cellule A1, entrer la formule : =ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;10) . Tirer la formule vers la droite jusqu’`a la cellule J1

2. Pour exp´erimenter, on va consid´erer que l’on a obtenu une boule rouge si le nombre al´eatoire g´en´er´e est ´egal `a 1 , 2 ou 3 .

Combien de boules rouges avez vous obtenu dans votre exp´erience ? R´eponse

Appuyer sur la touche F9 pour g´en´erer d’autres tirages.

3. Afin de compter le nombre de boules rouges on va coder 1 chaque fois que l’on a obtenu une boule rouge et 0 si l’on a obtenu une boule verte.

Effacer le contenu de la plage A1 :J1.

Dans la cellule A1 entrer la formule :

=Si(ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;10)¡=3 ;1 ;0)

4. Dans la cellule L1 entrer la formule =Somme(A1 :J1) Que repr´esente la r´esultat obtenu ?

R´eponse

5. Saisir la plage de cellule A1 :L1 , puis la croix de recopie de fa¸con `a recopier les formules jusqu’`a la ligne 1000.

6. Dans la cellule N1 entre la valeur 0

Dans la cellule O1 entrer la formule : =NB.SI(L1 :L$1000 ;0)/1000 . Que repr´esente le nombre obtenu ? :

R´eponse

7. Dans la cellule N2 entre la valeur 1

Dans la cellule O2 entrer la formule : =NB.SI(L1 :L$1000 ;1)/1000 .

8. Recommencer jusqu’`a obtenir le nombre de fois o`u l’on a obtenu 2 , 3 , 4 ... 10 boules rouges 9. S´electionner la plage de cellules N1 :O10 puis ins´erer un diagramme de type bˆaton.

Dans la gestion des donn´ees il faudra choisir : Premi`ere colonne comme ´etiquette 10. Appuyer sur la touche F9 pour g´en´erer de nouveaux ´echantillons

11. Dans la cellule P1 entre la formule =LOI.BINOMIALE(0 ;10 ;0,3 ;0) . Dans la cellule P2 entre la formule =LOI.BINOMIALE(1 ;10 ;0,3 ;0) Continuer jusqu’`a : =LOI.BINOMIALE(10 ;10 ;0,3 ;0) .

que constate-ton ? R´eponse

3 7 avril 2017

Activit´e d’introduction Premi`ere S1

A

´

:

´

Probl´ematique

Dans la situation pr´ec´edente, nous avons r´ep´et´e 10 fois l’´epreuve de Bernouilli en reconstituant l’urne apr`es chaque tirage.

Nous avons pu observer les diff´erentes possibilit´es et obtenir une valeur exp´erimentale de leurs pro- babilit´es.

Nous allons justifier ces probabilit´es.

Cette fois , il est sans doute mat´eriellement compliqu´e de construire l’arbre.

Il va donc falloir raisonner! ! ! Dans la suite On consid´erera la variable al´eatoire X qui prend pour valeurs le nombre de boules rouges obtenues

!

1. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable al´eatoireX? 2. Voici un issue possible correspondant `aX = 4 :

V V RRRV V V V R

Donner quelques exemples d’autre issues qui permettent d’obtenirX = 4

Combien y a-t-il de telles ´eventualit´es ? Quelle est la probabilit´e d’une telle ´eventualit´e En d´eduire une expression permettant de calculer p[X = 4]

3. Donner de mˆeme une expression permettant de calculer p[X = 5] etp[X= 9]

Information

On a ici r´ep´et´e 10 fois l’exp´erience `a deux issues :

— ”Obtenir une boule rouge”

— ”Obtenir une boule verte”

Puisque l’on observe le nombre de boules rouges on dira qu’obtenir une boule rouge est un SUCC ´ES . De la mˆeme fa¸con on dira qu’obtenir une boule verte sera un ´ECHEC .

On note X la variable al´eatoire qui donne le nombre de succ`es (C’est `a dire le nombre de boules rouges) apr`es les 10 tirage dans l’urne.

X peut prendre les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;· · · ·; 9 et 10.

La probabilit´e du succ`es ´etant ici 0,3 on dit que : X suit une loi binomiale de param`etre 10 et 0,3 .

X =B(10; 0,3)

4 7 avril 2017