LOI BINOMIALE

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LOI BINOMIALE

Ex : 27 p 291

I ) EPREUVE ET SCHEMA DE BERNOULLI

Définition :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée le succès (S) et l'autre l'échec ( S)

Exemples : on lance une pièce : pile est S et face est S On lance un dé : 1 est S et les autres résultats S

Définition :

Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur l'univers  = { S ; S } d'une épreuve de Bernoulli telle p(S) = p avec p ∈ [0;1] et donc p( ^S) = 1-p

p s'appelle le paramètre de cette loi.

Définition :

Pour n ≠ 0, un schéma de Bernoulli est une répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont p(S) = p. On dit que c'est un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p)

II) LOI BINOMIALE

Définition :

Soit un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p). On note X la variable aléatoire qui à chaque résultat de ce schéma de Bernoulli associe le nombre de succès.

La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.

Définition :

Quand on représente à l'aide d'un arbre un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, pour tout entier naturel k  n , le nombre de de chemins réalisant k succès sur les n expériences est



ⁿk



que l'on lit « k parmi n ». Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.

Propriété :

Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier naturel k  n on a P(X=k) =



ⁿk



^p^k ^{1 – p}^{n – k}

Propriété :

Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors

E(X) = n.p et V(X) = n p (1-p) Ex : 19 - 20 p 311

Ex : 23 p 311 36 p313 38 p314

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PROPRIETES DES COEFFICIENTS BINOMIAUX

Propriété :

Pour tous les entiers naturels n ≠ 0 et k avec k  n :



ⁿ0



= 1



ⁿn



=1



ⁿk



⁼



n – kⁿ





ⁿk



⁺



k1ⁿ



⁼



ⁿk^11



Démonstration :

3) Il y a autant de chemins qui réalisent k succès que de chemins qui réalisent k échecs c'est à dire n-k succès.

4) Lors de la réalisation de n+1 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, le nombre de chemins réalisant k+1 succès est



^n1p1



et parmi ces chemins, il y en a deux sortes :

Ceux qui commencent par un succès,

il faut donc k succès parmi les n épreuves restantes : il y en a donc



ⁿk



Ceux qui commencent par un échec,

il faut donc k+1 succès parmi les n épreuves restantes : il y en a donc



k1ⁿ



donc



ⁿk



⁺



k1ⁿ



⁼



^n1k1



Triangle de Pascal : En utilisant la dernière propriété : « la somme des deux rouges donne la bleue »

p

n 0 1 2 3 4 5 6

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1