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Loi Binomiale
I) BERNOULLI
• Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire qui admet exactement deux issues : succès ou échec.
On appelle le paramètre 𝑝 la probabilité du succès et 𝑞 = 1 − 𝑝 la probabilité de l’échec.
REMARQUE
Les termes « succès » et « échec » ne sont porteurs d’aucune valeur. Ils désignent simplement de manière générique, les deux issues possibles. Le choix de ces termes est historiquement issu de la théorie des jeux.
EXEMPLES
• Lancer une pièce de monnaie équilibrée et savoir si « pile » est obtenu est une épreuve de Bernoulli de succès 𝑆
« Pile a été obtenu » dont la probabilité est 𝑝 = 0,5. L’« échec » 𝑆̅ est « Face a été obtenu ».
• Lancer un dé et vouloir « obtenir un 6 » est une épreuve de Bernoulli de succès 𝑆 « 6 est obtenu » dont la probabilité est 𝑝 =1
6. L’« échec » 𝑆̅ est « ne pas obtenir un 6 » (ou « obtenir {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} »
• Interroger une personne dans la rue en France et lui demander si elle est gauchère est une épreuve de Bernoulli de succès 𝑆 « la personne est gauchère » dont la probabilité est 𝑝 ≈ 0,13.
EXERCICES
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Pour chacune des épreuves suivantes, indiquer s’il s’agit d’une épreuve de Bernoulli et préciser le succès et sa probabilité le cas échéant.
a) On regarde la famille de la carte (pique, cœur, carreau, trèfle).
b) On vérifie que la carte est un pique.
c) On regarde si la carte n’est pas un pique.
d) On vérifie que la carte est un as.
e) On regarde la valeur de la carte (as ; 2 ; 3 ; …).
f) On vérifie que la carte est une figure (roi ; dame ; valet).
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• Loi de Bernoulli : On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝.
• La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli.
• La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre 𝒑.
EXEMPLE
Reprenons l’exemple d’un dé, le succès correspond au fait d’obtenir un 6. On a alors : 𝐸(𝑋) = 1 ×1
6+ 0 ×5 6=1
6 𝑉(𝑋) =1
6×5 6= 5
36
𝜎(𝑋) = √5 36=√5
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• Schéma de Bernoulli d’ordre 𝒏 : Expérience aléatoire qui est la répétition de 𝑛 épreuves de Bernoulli identiques et Indépendantes. On définit alors la variable aléatoire 𝑋 représentant le nombre de succès.
Si 𝑿 est une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre 𝒑, alors : 𝑬(𝑿) = 𝒑 ; 𝑽(𝑿) = 𝒑(𝟏 − 𝒑) ; 𝝈(𝑿) = √𝒑(𝟏 − 𝒑) PROPRIETE
3 II) LOI BINOMIALE DE PARAMETRES 𝒏 ET 𝒑
REMARQUE :
• Pour une loi binomiale de 𝑛 épreuves, on peut formaliser l’univers par {𝟎 ; 𝟏}𝒏.
• (𝑛
𝑘) est un coefficient binomial. Il correspond au nombre de possibilités de placer 𝑘 succès sur 𝑛 expériences.
• Avec la calculatrice :
EXEMPLE : On lance 10 fois de suite un dé cubique.
1) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement quatre fois un 6 ? 2) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins quatre fois un 6 ? REPONSE :
1) Cette expérience peut se ramener à la loi binomiale pourvu qu’on lance le dé toujours de la même façon. Les expériences sont indépendantes et chaque expérience a deux issues : soit faire un 6 (𝑝 = 1
6 ) soit ne pas faire de 6 (𝑝 = 5
6 ). Il s’agit donc d’une loi binomiale B (10 ; 1
6 ). On a alors :
Dans un schéma de Bernoulli d’ordre 𝒏 et de paramètre 𝒑, la loi de probabilité de la variable aléatoire 𝑿 qui à chaque issue associe le nombre de succès est définie par :
𝒑(𝑿 = 𝒌) = (𝒏
𝒌) 𝒑𝒌(𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌 𝒂𝒗𝒆𝒄 (𝒏
𝒌) = 𝒏!
(𝒏 − 𝒌)! 𝒌!
On dit alors que la variable aléatoire 𝑿 suit une loi binomiale B (𝒏 ; 𝒑).
𝑃𝑎𝑟 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 (10
4) ∶ 𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒 210 (𝑒𝑛𝑓𝑖𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 … )
𝑝(𝑋 = 4) = (10 4) (1
6)
4
(5 6)
6
≈ 0,0543.
THEOREME
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𝑝(𝑋 ≥ 4) =𝑝(𝑋 = 4) + … … + 𝑝(𝑋 = 10) = 1 − 𝑝(𝑋 ≤ 3) ≈ 0,0697
• Avec la calculatrice :
2) Si on veut obtenir au moins quatre fois un 6, on doit calculer :
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• Espérance et Variance d’une Loi Binomiale :
Ce théorème est admis… pour l’instant…
EXEMPLE :
Une urne contient 10 boules (indiscernables au toucher) ; 4 boules sont rouges et les autres sont noires. On tire successivement 6 boules de l’urne en remettant la boule à chaque tirage.
Quel nombre moyen de boules rouges peut-on espérer ? Avec quelle variance et quel écart-type ?
REPONSE :
𝐸(𝑋) =6 × 0,4 = 2,4 𝑉(𝑋) =6 × 0,4 × 0,6 = 1,44 𝜎(𝑋) =√1,44 = 1,2
III) REPRESENTATION DE LA LOI BINOMIALE
a) Représentation symétrique
On lance 8 fois une pièce de monnaie. Déterminer et représenter la loi de probabilité de la variable aléatoire 𝑋 qui représente le nombre de « piles » obtenus.
Les 8 lancers sont à priori indépendants car la pièce est lancée toujours de la même façon. La probabilité sur un lancer d’obtenir « pile » est de 0,5 (on suppose que la pièce est équilibrée).
On obtient alors :
𝑝(𝑋 = 𝑘) = (8
𝑘) 0,5𝑘0,58−𝑘= (8 𝑘) 0,58 On obtient alors le tableau de la loi de probabilité (à 10−3) suivant :
On obtient la représentation de la loi binomiale B (8 ; 0,5) :
𝑿 est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B (𝒏 ; 𝒑), alors l’espérance mathématique 𝑬(𝑿), la variance 𝑽(𝑿) et l’écart-type 𝝈(𝑿) sont égales à :
• 𝑬(𝑿) = 𝒏𝒑 • 𝑽(𝑿) = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) • 𝝈(𝑿) = √𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) THEOREME
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REMARQUE : Cette distribution est symétrique car la probabilité de succès est égale à la probabilité d’échec.
b) Autre représentation : asymétrique
Une urne contient 10 boules (indiscernables au toucher) : 4 boules sont rouges et les autres sont noires. On tire successivement 6 boules de l’urne en remettant la boule à chaque tirage.
Déterminer et représenter la loi de probabilité de la variable aléatoire 𝑋 qui représente le nombre de boules rouges obtenues.
Les 6 lancers sont indépendants car la boule est remise dans l’urne à chaque fois. La probabilité sur un tirage d’obtenir une boule rouge est de 0,4 (les boules sont indiscernables au toucher).
On obtient alors :
𝑝(𝑋 = 𝑘) = (6
𝑘) 0,4𝑘0,66−𝑘 On obtient les différentes valeurs avec la calculatrice avec
On obtient alors le tableau de la loi de probabilité (à 10−3) suivant :
On obtient la représentation de la loi binomiale B (6 ; 0,4) :
7 IV) EXERCICES
1) Calculer des probabilités dans le cadre d’une succession d’épreuves indépendantes.
Une expérience aléatoire consiste à lancer trois pièces : une pièce truquée qui tombe deux fois plus souvent sur « Pile » que sur « Face », et deux pièces équilibrées. On modélise cette expérience aléatoire par une succession d’épreuves indépendantes.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir « Pile » lors du lancer de la pièce truquée ? b) Exprimer l’univers de cette expérience à l’aide d’un produit cartésien.
c) Réaliser un arbre pondéré représentant la situation.
d) Déterminer la probabilité de l’évènement 𝐸 : « obtenir une seule fois « Pile » ».
2) Modéliser une situation par une loi binomiale.
a) On considère un jeu de 32 cartes. On tire deux cartes de ce jeu et on note 𝑋 la variable aléatoire qui compte le nombre de cœurs obtenus. Dans chacune des situations suivantes, dire si 𝑋 suit une loi binomiale et en préciser les paramètres.
i. On tire les deux cartes l’une après l’autre en ne remettant pas la première.
ii. On tire les deux cartes l’une après l’autre en remettant la première dans le jeu.
b) La ville de Las Vegas accueille environ 100 000 touristes chaque jour. On estime que 5 % des touristes ne viennent pas à Las Vegas pour jouer au casino. On interroge au hasard 10 touristes dans la rue. On note 𝑌 la variable aléatoire qui compte le nombre de touristes témoignant ne pas être venus dans cette ville pour jouer. Expliquer pourquoi on peut considérer que 𝑌 suit une loi binomiale.
3) Calculer numériquement une probabilité dans le cas d’une variable binomiale 𝑿.
a) Soit 𝑋 une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 = 3 et
𝑝 =
14. Déterminer la valeur exacte de 𝑃(𝑋 = 1), puis la valeur exacte de 𝑃(𝑋 ≤ 2).
b) Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 𝑛 = 10 et
𝑝 =
14. Déterminer la valeur exacte de 𝑃(𝑋 = 7), puis en donner une valeur approchée à 10−4 près.
4) Utiliser l’expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison, d’optimisation.
On lance 𝑛 fois une pièce équilibrée. Soit 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque série de 𝑛 lancers, associe le nombre de
« Pile » obtenus. Déterminer la plus petite valeur de 𝑛 telle que la probabilité d’obtenir au moins une fois « Pile » dépasse 0,999.
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5) Calculer une probabilité en utilisant l’indépendance ou des probabilités conditionnelles.
Pour un recrutement, les candidats doivent passer deux tests qui se soldent chacun par un succès ou un échec. L’évènement 𝐴 est « réussir au premier test » et l’évènement 𝐵 est
« réussir au second test ». On considère l’arbre pondéré ci-contre qui représente cette expérience aléatoire.
a) Donner les valeurs des probabilités suivantes : 𝑝(𝐴); 𝑝𝐴(𝐵) 𝑒𝑡 𝑝𝐴̅(𝐵).
b) Calculer 𝑝(𝐵).
c) Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont-ils indépendants ?
d) Déterminer 𝑝𝐵(𝐴) et donner une interprétation de cette probabilité.
e) On ajoute un troisième test. On note 𝐶 l’évènement « réussir au troisième test », de probabilité 0,2. Si 𝐴 et 𝐶 sont indépendants, que vaut 𝑝(𝐴 ∩ 𝐶) ?
6) Déterminer un intervalle 𝑰 pour lequel 𝒑(𝑿 ∈ 𝑰) est inférieure à une valeur donnée 𝜶, ou supérieure à 𝟏 − 𝜶, si 𝑿 suit une loi binomiale.
a) Dans une chaine de production pharmaceutique, la proportion de gélules non commercialisables en sortie de chaines est 3 %.
Soit 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 200 gélules, associe le nombre de gélules non commercialisables.
i. Quelle est la loi suivie par 𝑋 ?
ii. A l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier 𝑏 tel que : 𝑝(𝑋 ∈ [0 ; 𝑏]) ≤ 0,9.
iii. Interpréter le résultat précédent.
b) On s’intéresse à la proportion de faces marquées 1 obtenues quand on lance un dé tétraédrique bien équilibré (dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4). Soit 𝑌 la variable aléatoire qui, à chaque série de 100 lancers, associe le nombre de 1 obtenus.
i. Quelle loi suit 𝑌 ?
ii. Déterminer les entiers 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑎 est le plus petit entier tel que 𝑝(𝑌 ≤ 𝑎) > 0,025 et 𝑏 le plus petit entier tel que 𝑝(𝑌 ≤ 𝑏) ≥ 0,975.
iii. En déduire un intervalle 𝐼 tel que 𝑝(𝑌 ∈ 𝐼) ≥ 0,95. Interpréter ce résultat.
