Master MEEF Maths Capes Externe
UE 8 ORAL 2
2015-2016
Dossier PS 6 Thème : Loi binomiale
L’exercice
Une société souhaite agrandir un important centre d'appels et doit pour cela recruter 30 téléconseillers. Le responsable du recrutement fait passer des tests à 900 candidats, avant un entretien d'embauche.
L'une des épreuves consiste à appeler 3 personnes tirées au hasard dans un gros fichier pour leur demander de répondre à un questionnaire.
Le responsable du recrutement sait qu'en moyenne, sur le centre d’appel, un téléconseiller obtient dans un cas sur cinq que la personne appelée accepte de répondre.
L'épreuve est réussie si au moins 2 des 3 personnes appelées par le candidat au recrutement acceptent de répondre.
Les candidats ainsi sélectionnés seront convoqués à un entretien d'embauche.
Il s'agit d’étudier la réussite à ce test avec la même performance que les téléconseillers déjà en poste, puis de calculer la probabilité pour le recruteur d'avoir sélectionné un nombre suffisant de candidats
1. Un téléconseiller appelle trois personnes. La grande taille du fichier permet de considérer que les trois appels successifs sont indépendants.
a. Quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes acceptent de répondre ?
b. Quel est le nombre moyen de personnes acceptant de répondre lors d’un grand nombre de séries de trois appels ?
2. D’après ce qui précède, la probabilité qu’un candidat réussisse le test et soit ainsi convoqué à un entretien d’embauche est 0,104.
a. Quel est le nombre de candidats que l’on peut en moyenne espérer sélectionner ? b. Quelle est la probabilité que 90 candidats réussissent le test ?
c. Quelle est la probabilité que le nombre de candidats sélectionnés soit insuffisant ?
d. Quelle est la probabilité que le nombre de candidats sélectionnés soit strictement supérieur à 120 ? (le nombre d’entretiens d’embauche serait alors jugé excessif)
Les réponses de trois élèves de première à la question 1.a
Elève 1.
La probabilité qu’au moins deux personnes acceptent de répondre est 1 − 0,83= 0,488
Elève 2.
La probabilité que trois personnes acceptent de répondre est : 0,23= 0,008
La probabilité que deux personnes acceptent de répondre est : 0,22 × (1 − 0,2) = 0,032
Donc la probabilité qu’au moins deux personnes acceptent de répondre est : 0,008 + 0,032 = 0,04 Elève 3
Je reconnais la loi binomiale de paramètre 𝑛 = 3 et 𝑝 = 1
5= 0,2 et donc 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) .
Avec la calculatrice, j’obtiens : 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝐹𝑅é𝑝(2,3,0.2) = 0,008
Le travail à exposer devant le jury
1. A l’aide d’un tableur, simuler le test pour les 900 candidats (un candidat appelle trois personnes, une sur cinq accepte de répondre au questionnaire).
a. Afficher un bilan du nombre de candidats retenus.
b. Afficher le nombre moyen de personnes acceptant de répondre pour les 900 candidats.
On observera la fluctuation des résultats sur une dizaine de simulations.
2- Analysez les productions de ces trois élèves en mettant en évidence leurs réussites et leurs éventuelles erreurs.
3- a. Proposez une correction de la question 2 de l’exercice telle que vous l’exposeriez devant une classe de première.
b. Déterminez un intervalle contenant le nombre de candidats sélectionnés dans environ 95% des cas.
4- Présentez deux ou trois exercices sur le thème Loi binomiale. Vous motiverez vos choix.
