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Si D suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors P(D6a

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Academic year: 2022

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(1)

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2015–2016 Devoir surveillé no7 – mathématiques

Correction Exercice 1

1. Si D suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors P(D6a) = 1−e−λa.

Donc P(D64) = 0,5⇔1−e−4λ = 0,5⇔0,5 = e−4λ ⇔ln 0,5 =−4λ⇔λ=−ln 0,5 4 .

2. La probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplé- mentaires est la probabilité conditionnelle PD>3(D>3 + 5).

On sait que la loi exponentielle est une loi à « durée de vie sans vieillissement » donc : PD>3(D>3 + 5) =P(D>5) = e−5λ 'e−5×0,173 3 '0,420 4.

Exercice 2

1. (a) |a|=|4 + 4i√ 3|=

q

42+ (4√

3)2 =√

16 + 16×3 = √

16×4 = 4×2 = 8.

On en déduit a= 8 1 2+i

√3 2

!

. On chercheθ tel que cosθ = 1

2 etsinθ=

√3 2 . Alorsθ, soit un argument de a, est π

3.

(b) D’après la question précédente, on a a= 4 eiπ3. Par suite,b =a= 4 e−iπ3.

(c) On a|a|= 8,|b|=|a|=|a|= 8 et|c|=|8i|= 8. Cela implique queOA=OB =OC = 8.

Les points A, B et C sont donc sur le cercle de centre O et de rayon 8.

(d) Voir la figure à la fin.

2. (a) b0 =beiπ3 = 8 e−iπ3 ×eiπ3 = 8.

(b) |a0|= aeiπ3

=|a| × eiπ3

=|a|= 8 car e

= 1 pour tout θ réel.

Ensuite, arg(a0) = arg aeiπ3

= arg(a) + arg eiπ3

= π 3 + π

3 = 2π 3 . 3. (a) On a : r= a0+b

2 = −4 + 4i√

3 + 4−4i√ 3

2 = 0 ets = b0 +c

2 = 8 + 8i

2 = 4 + 4i.

On a admis quet = 2−2√

3 +i 2 + 2√ 3

.

(b) Calculons les longueurs de des côtés du triangle RST : RS =|s−r|=|4 + 4i|= 4|1 +i|= 4√

2 ST =|t−s|=

−2−2√ 3 +i

−2 + 2√ 3

= 2

−1−√ 3 +i

−1 +√ 3

= 2 r

−1−√ 32

+

−1 +√ 32

= 2 r

1 + 2√

3 + 3 + 1−2√ 3 + 3

= 2√ 8

= 4√ 2 RT =|t−s|=

−2−2√

3 +i(−2 + 2√ 3)

= 2

−1−√

3 +i(−1 +√ 3)

= 2

q

1 + 2√

3 + 3 + 1−2√

3 + 3 = 2√ 8

= 4√ 2

RS =ST =RT = 4√

2donc le triangle RST est équilatéral.

(2)

Sur feuille à petits carreaux :

R

S T

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8

−8

−6

−4

−2 2 4 6 8

O

B A C

B0 A0

C0

Sur feuille à grand carreaux :

R

S T

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8

−8

−6

−4

−2 2 4 6 8

O

B A C

B0 A0

C0

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