Université Paris 6– Licence de Mathématiques– Module L346 – Examen du 29 mai 2008–Durée 2h– Le polycopié et les notes de cours sont autorisés.
Exercice 1 Soit h : [0,1] → R une fonction continue bornée telle que 0 ≤ h(x) ≤ 1 pour tout x ∈ [0,1]. Soient U, V deux v.a indépendantes suivant une même loi uniforme sur [0,1]. Définissons la variable aléatoire Z à valeurs dans {0,1} par : Z = 1 si V < h(U) etZ = 0 sinon.
1) 1.a) Quelle est la loi de Z? Calculer l’espérance et la variance de Z. 1.b) On suppose que U1, V1, U2, V2, . . . est une suite de v.a indépendantes suivant une même loi uniforme sur [0,1]. En vous inspirant de la question précédente, décrire une procédure qui permette de calculer R1
0 g(x)dxà 10−3 près avec une fiabilité de 95% (on justifiera en détail la méthode).
2) En utilisant le cours, expliquer comment construire, à partir d’une suite U1, V1, U2, V2, . . . de v.a indépendantes suivant une même loi uniforme sur [0,1], une suite de v.a (Wk)k≥1 indépendantes et de même loi ayant pour densité g : [0,1]→ [0,∞) (on a donc R1
0 g(x)dx = 1) . Comment cette suite de v.a (Wk)permet-elle de calculer R1
0 xg(x)dx à10−3 près avec une fiabilité de 95% ?
3) On suppose queg : [0,1]→[0,∞[est une fonction telle queR1
0 g(x)dx= 1 et que 0≤xg(x)≤1pour toutx∈[0,1]. Comparer l’efficacité des méthodes décrites en 1) et en 2) pour calculer R1
0 xg(x)dx.
Exercice 2 Expliquer comment simuler par la méthode d’inversion de la fonction de répartition une v.a.r. dont la loi admet pour densité ρ(x) = 3x21[0,1](x). Comment simuler unesuite de v.a.r. i.i.d. de densité ρ?
Exercice 3 Supposons que le fait qu’il pleuve ou pas aujourd’hui soit dé- terminé par le temps qu’il a fait les deux jours précédents. Ainsi, le temps qu’il fait aux jours n et n+ 1 est déterminé par le temps qu’il fait aux jours n−1etn. Définissons quatre états de la façon suivante : l’état 1 est "il a plu aujourd’hui et hier", l’état 2 est "il a plu aujourd’hui mais pas hier", l’état 3 est "il n’a pas plu aujourd’hui mais il a plu hier" et l’état 4 est "il n’a plu ni aujourd’hui ni hier". On note Xn la v.a à valeurs dansE ={1,2,3,4}qui détermine le temps qu’il fait aux jours n−1etn (par exemple {Xn = 3} est l’événement "il a plu le jour n−1 et il n’a pas plu le jour n") et on suppose que les Xn forment une chaîne de Markov homogène. Dans ce qui suit on fait
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l’hypothèse que la matrice de transition associée à cette chaîne est
0,7 0 0,3 0 0,5 0 0,5 0 0 0,4 0 0,6 0 0,2 0 0,8
.
1) 1.a) Expliquer pourquoi l’événement "il pleut le jourk" est{Xk ∈ {1,2}}.
1.1.b) Sachant qu’il a plu lundi (jour n) et mardi (journ+ 1) , quelle est la probabilité qu’il pleuve jeudi (jour n+ 3) ?
2) Cette chaîne de Markov est-elle irréductible ? Récurrente ?
3) Que dire de la probabilité de l’événement "il pleuvra deux jours consécutifs une infinité de fois" ?
4) La matrice P est elle apériodique ?
5) Existe-t-il une loi stationnaire ? Est-elle unique ? Si oui, la déterminer.
6) On observeN jours consécutifs et on noteBN le nombre de jours où il a fait beau. Démontrer quelimN→∞(BN/N)admet une limite presque sûrement et la déterminer.
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