Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive
Formule
D’après le cours ; sif est continue sur [a ; b], Rb
af(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)oùF est n’importe quelle primitive def.
Formule
D’après le cours ; sif est continue sur [a ; b], Rb
af(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)oùF est n’importe quelle primitive def.
Exemple 1
Soitf la fonction carré sur [0 ; 2] ; on veut calculer l’aire du domaine limité par la courbe représentative def, l’axe des abscisses et les droitesz d’équationsx=0 etx=2 (partie en bleu ci-dessous)
1 2
−1 0
−1 1 2 3 4
A
On n’a pas de formule donnant cette aire, donc on doit calculer une intégrale.
A =R2
0f(x)dx avecf(x)=x2.
On n’a pas de formule donnant cette aire, donc on doit calculer une intégrale.
A =R2
0f(x)dx avecf(x)=x2.
Une primitive def estF avecF(x)=x3 3 .
On n’a pas de formule donnant cette aire, donc on doit calculer une intégrale.
A =R2
0f(x)dx avecf(x)=x2.
Une primitive def estF avecF(x)=x3 3 . Alors :R02f(x)dx=F(2)−F(0)=23
3 − 03
3 = 8 3 u.a.
On veut calculer l’aire du domaine limité par la courbe représentative de la fonctionsin, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=0 etx=
π
2 (partie bleue ci-dessous).
−1 1
0
−1 1
A
π 2
On veut calculer l’aire du domaine limité par la courbe représentative de la fonctionsin, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=0 etx=
π
2 (partie bleue ci-dessous).
−1 1
0
−1 1
A
π 2
A =R
π 2
0 sin(x)dx=[−cos(x)]
π 2
0 = −cos³π 2
´
−(−cos(0))=1 u.a.
Aire entre deux courbes
On veut calculer l’aire de la partie du plan limitée par la droite d’équationy=x, la courbe représentative de la fonction carré et les droites d’équationx=0 etx=1 (partie bleue ci-dessous).
−1 1
1
A
Une intégrale permet de calculer l’aire comprise entre une courbe et l’axe des abscisses. L’aire cherchée va donc se calculer comme différence de deux aires :A =A2−A1,A2 étant l’aire entre la courbe représentative de la fonction f1 définie parf1(x)=x et l’axe des abscisses etA l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe représentative def2avec f2(x)=x2.
Une intégrale permet de calculer l’aire comprise entre une courbe et l’axe des abscisses. L’aire cherchée va donc se calculer comme différence de deux aires :A =A2−A1,A2 étant l’aire entre la courbe représentative de la fonction f1 définie parf1(x)=x et l’axe des abscisses etA l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe représentative def2avec f2(x)=x2.
Une primitive def1estF1avecF1(x)=x2
2 ; une primitive def2 estF2avecF2(x)=x3
3 .
Une intégrale permet de calculer l’aire comprise entre une courbe et l’axe des abscisses. L’aire cherchée va donc se calculer comme différence de deux aires :A =A2−A1,A2 étant l’aire entre la courbe représentative de la fonction f1 définie parf1(x)=x et l’axe des abscisses etA l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe représentative def2avec f2(x)=x2.
Une primitive def1estF1avecF1(x)=x2
2 ; une primitive def2 estF2avecF2(x)=x3
3 . A1=F1(1)−F1(0)=1
2
Une intégrale permet de calculer l’aire comprise entre une courbe et l’axe des abscisses. L’aire cherchée va donc se calculer comme différence de deux aires :A =A2−A1,A2 étant l’aire entre la courbe représentative de la fonction f1 définie parf1(x)=x et l’axe des abscisses etA l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe représentative def2avec f2(x)=x2.
Une primitive def1estF1avecF1(x)=x2
2 ; une primitive def2 estF2avecF2(x)=x3
3 . A1=F1(1)−F1(0)=1
2 A2=F2(1)−F2(0)=1 3
Une intégrale permet de calculer l’aire comprise entre une courbe et l’axe des abscisses. L’aire cherchée va donc se calculer comme différence de deux aires :A =A2−A1,A2 étant l’aire entre la courbe représentative de la fonction f1 définie parf1(x)=x et l’axe des abscisses etA l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe représentative def2avec f2(x)=x2.
Une primitive def1estF1avecF1(x)=x2
2 ; une primitive def2 estF2avecF2(x)=x3
3 . A1=F1(1)−F1(0)=1
2 A2=F2(1)−F2(0)=1 3 Donc :A =1
2− 1 3=
3 6−
2 6=
1 6
