On appelle intégrale de f entre a et b l’aire de la surface délimitée par la courbe, l’axe des abscisses, la droite verticale d’équation x  a et la droite verticale d’équation x  b .

Définition

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I contenant a et b deux nombres tels que a  b . La représentation graphique est tracée dans un repère orthogonal  ^{O i j ; ;}  ^.

On appelle intégrale de f entre a et b l’aire de la surface délimitée par la courbe, l’axe des abscisses, la droite verticale d’équation x  a et la droite verticale d’équation x  b .

Le rectangle hachuré représente une unité d’aire. Les nombres a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.

L’intégrale représente le nombre d’unités d’aires comprises dans la zone ainsi délimitée.

Cette intégrale est notée ^b  

a f x dx



Rappel

L’aire d’un trapèze est

2 B b

A    h où B est la grande base, b la petite base et h la hauteur.*

Application – Aire sous une droite affine On travaille dans un repère

orthonormé. Le carré hachuré représente une unité d’aire.

La droite (AB) est la représentation graphique d’une fonction affine ^{f x}   ^{ ax  b} . Déterminer les coefficients a et b qui caractérisent cette fonction.

Tracer les droites  et  d’équations respectives x  0 et x  6

Hachurer légèrement la zone délimitée par les quatre droites , (Ox),  et (AB).

Calculer ⁶  

0 f x dx

 ^.

Application – Aire sous une droite affine On travaille dans un repère

orhogonal. Le rectangle jaune représente une unité d’aire.

La droite (AB) est la représentation graphique d’une fonction affine ^{f x}    ^ax  ^b . Déterminer les coefficients a et b qui caractérisent cette fonction.

Tracer les droites  et  d’équations x  1 et x  5 .

Hachurer légèrement la zone délimitée par les quatre droites , (Ox),  et (AB). Déterminer le nombre d’unités d’aire contenues dans cette zone.

Extension de la définition

Si la fonction est continue et négative sur l’intervalle I alors l’intégrale de la fonction f entre a et b (avec a  b ) est l’opposée de l’aire définie entre l’axe des abscisses, la courbe et les deux droites verticales x  a et x  b . Une aire étant positive, et l’opposé d’un positif étant négatif, nous pouvons affirmer que l’intégrale d’une fonction négative est négative.

Si la fonction f change de signe sur l’intervalle I , on découpe l’intervalle en intervalles sur lesquels elle garde un signe constant puis on applique les définitions.

Application directe

On considère la fonction affine définie par

  ²

f x   x . Calculer les cinq intégrales :

 ⁴  

2 f x dx



 ²  

0 f x dx



 ⁴  

1 f x dx



 ³  

0 f x dx



 ⁴  

0 f x dx



La relation de Chasles

  ⁰

a

a f x dx 

  a ^b f x dx ^{ }   b ^c f x dx ^{ }   a ^c f x dx ^{ }  b ^a f x dx ^{ }    a ^b f x dx ^{ }

Une évidence La relation de Chasles Une conséquence

Linéarité de l’intégrale

   

b b

a k  f x dx   k a f x dx

   a ^b   f x ^{ }  g x ^{ }   dx   a ^b f x dx ^{ }   a ^b g x dx ^{ } Multiplication par une constante Addition de deux fonctions

Inégalités

Si ^{f x}   ^{ g x}   alors

   

b b

a f x dx  a g x dx

 

Si ^{m  f x}   ^{ M} alors

  ^b    

m b a    a f x dx  M b a 

Une évidence Inégalités de la moyenne

Calcul approché d’une intégrale – Méthode des rectangles

Ce procédé, par encadrement par deux fonctions en escaliers, permet de calculer une valeur

approchée de l’intégrale. La réitération du procédé avec un découpage plus fin de l’intervalle

permet de réduire l’amplitude de l’encadrement obtenu et ainsi gagner en précision quant à la

Fonction carrée

On a tracé ci-contre la représentation graphique de la parabole d’équation ^{f x}   ^{ x 2} . Le but du problème est d’encadrer par deux réels l’intégrale ^{2 2}

0

I   x dx ^. Sur l’intervalle  ^0;0,5  ^,

déterminer un encadrement de

 

f x . En déduire un encadrement de ^{0,5 2}

0 x dx

 ^.

Sur l’intervalle  ^0,5;1  ^,

déterminer un encadrement de

 

f x . En déduire un encadrement de ^{1 2}

0,5 x dx

 ^.

Sur l’intervalle  ^1;1,5  ^,

déterminer un encadrement de

 

f x . En déduire un encadrement de ^{1,5 2}

1 x dx

 ^.

Sur l’intervalle  ^1,5;2  ^,

déterminer un encadrement de

 

f x . En déduire un encadrement de ^{2 2}

1,5 x dx

 ^.

En déduire un encadrement de I . Quelle est l’amplitude de l’encadrement ?

Fonction exponentielle

On a tracé ci-contre la représentation graphique de ^{f x}   ^{ e x} . Le but du problème est d’encadrer l’intégrale ¹

0

J   e dx x ^.

Pour cela on s’intéresse aux deux sommes proposées ci-dessous :

1

0

1 ⁿ

n

k

s f k

n n





        

1

1 ⁿ

n

k

S f k

n _ n

        

0.5

0.5

Calculer s ₂ et S ₂ . Proposer un encadrement de J , dont vous préciserez l’amplitude.

Calculer s ₅ et S ₅ . Proposer un encadrement de J , dont vous préciserez l’amplitude.

Calculer s ₁₀ et S ₁₀ . Proposer un encadrement de J , dont vous préciserez l’amplitude.

Calcul approché d’une intégrale – Méthode des trapèzes

On a tracé ci-contre la représentation graphique de ^{f x}   ^{ ln}   ^x . Le but du problème est d’établir une valeur approchée de l’intégrale ²  

1 ln

K   x dx . On considère la somme définie par

1 1 1

1 1

2

n n

k k

T f f

n n n





      

                 . Calculer T ₂ . Calculer T ₅ . Calculer T ₁₀ . Interpréter.

Définition

On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F dérivable sur l’intervalle I et dont la dérivée F est la fonction f .

a pour primitive a pour dérivée

f   F

Propriétés

 Si f admet une primitive F , k étant une constante réelle quelconque, alors toute fonction G telle que ^{G x}   ^{ F x}   ^{ k} est aussi une primitive de f . Réciproquement, si

F et G sont deux primitives de la fonction f , alors ^{G x}   ^{ F x}   ^{ k} .

 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle.

Parmi toutes les primitives une seule s’annule en un point de l’intervalle I . Application

Compléter le tableau ci-dessous présentant les primitives de certaines fonctions usuelles : Fonction f Primitives F Domaine de validité

Constante ^{f x}   ^{ a} IR

Identité ^{f x}   ^{ x} IR

Carré ^{f x}    ^{x 2} IR

Cube ^{f x}   ^{ x 3} IR

Puissance n ^{f x}   ^{ x n} IR

Inverse ^{f x}   ¹

 x  ^{ ;0}   ^{ 0; } 

Exponentielle ^{f x}   ^{ e x} IR

Cosinus ^{f x}   ^{ cos}   ^x IR

Sinus ^{f x}   ^{ sin}   ^x IR

Inverse du carré   2

f x 1

 x  ^{ ;0}   ^{ 0; } 

Inverse de la racine ^{f x}   ¹

 x  ^0; 

Application

  ^{2 2 5 8}

f x  x  x  ^{g x}   ^{2 x 3 x 2 5 x 1}

x

  

 ^{h x}   ^{ 5 e x  cos}   ^{x  sin}   ^x

Rappel sur la dérivée – Une exponentielle composée Exponentielle

composée Dérivée

e u u  e ^u

Utilisation dans un calcul de primitives

  ^{2 x 3}

f x  e ^{ g x}    ^{20 e 5 x  2}

  ^{1 2}

2

h x e x

 x  ^{k x}   ^{ x 4  e  5x}

Rappel sur la dérivée – Un logarithme composé

Logarithme composé Dérivée

 

ln u u

 u

Utilisation dans un calcul de primitives

  ²

2 1

f x  x

   ¹

5 2

g x  x



  ² ₂ ^{x 1}

h x x x

 

   ² 2

1

x x

k x e

 e

 Rappel sur la dérivée – Un cosinus composé

Cosinus composé Dérivée

 

cos u ^{  u  sin}   ^u

Utilisation dans un calcul de primitives

  ^{6sin 2}

f x    x   4  

    ^{6sin 3}

g x     6  x  

 

Rappel sur la dérivée – Un sinus composé

Sinus composé Dérivée

 

sin u ^{u  cos}   ^u

Utilisation dans un calcul de primitives

  ^{6 cos 3}

h x _{ } x _  6 _

 

    ^{6 cos 2}

k x _{ }  4 _ x _

 

 

Une fonction construite à l’aide d’une intégrale Soit f une fonction continue sur l’intervalle   ^{a b ; .}

On suppose ici que la fonction est croissante et positive sur   ^{a b ; .}

On considère la fonction F définie pour tout x de l’intervalle   ^{a b ; par}   ^x  

F x   a f t dt ^. Le but du travail proposé est de montrer que F est dérivable sur   ^{a b ; et que F x     f x   .}

Soit ^{c }   ^{a b ;} un réel quelconque de l’intervalle   ^{a b ;} . On considère la configuration suivante :

1. Montrer que     ^{c h}  

F c  h  F c   c ^ f t dt . Que représente cette quantité ? 2. En déduire l’encadrement ^h  ^{f c}    ^{F c}   ^h   ^{F c}     ^{h f c}   ^h  . Expliquer.

3. Calculer    

0

lim F c

h

F c h

 h

 

. Le raisonnement sera clairement détaillé.

4. La fonction F est-elle dérivable en x  c ? Quel est le nombre dérivé ^{F c }   ? 5. Calculer ^{F a}   .

Le raisonnement présenté ici pour une fonction positive et croissante pourrait être mené de manière analogue pour une fonction de signe ou de variations différentes. Le résultat obtenu serait identique. Une condition ne peut pas être occultée : la continuité de la fonction f .

1 1

fonction f

a c c+h b

f(c) f(c+h)

h

Théorème fondamental

f est une fonction continue sur un intervalle I . Pour tout nombre réel a  I , la fonction F définie par :

  ^x  

a

F x   f t dt

est l’unique primitive de f s’annulant en x  a Conséquence

Si G est une primitive quelconque de f sur l’intervalle I , si a et b sont deux réels de l’intervalle I , alors :

     

b

a f t dt  G b  G a



Démonstration

F est la primitive qui s’annule en x  a . G est une primitive quelconque. On peut donc écrire

   

G x  F x  k . Calculer la quantité ^{G b}   ^{ G a}   et montrer qu’elle est égale à ^b  

a f t dt

 ^.

Notation

     

b

a f t dt  G b  G a

 s’écrit aussi sous la forme ^b     ^b _a

a f t dt    G x  

 ^.

Cette notation se lit « une primitive de f prise entre les bornes a et b ».

Calculs d’intégrales

Ainsi le calcul d’une intégrale se réduit au calcul d’une primitive dont on calculera la valeur en deux endroits pour enfin les soustraire. Effectuer le calcul des intégrales suivantes :

1 2

A   0 x dx 0 ¹

B   e dx x ^{C } _{ 1} ^{2 1} _x ^dx D   1 ² ln ^{ } x dx

Indication pour le calcul de D : on pourra dériver la fonction définie par ^{g x}   ^{  x ln}   ^{x  x} . Intégrales et systèmes

On pose ^{ln 16  }

0

3 4

x x

I e dx

e

 

  ^et 0 ^{ln 16  }

1

x 4

J dx

 e

  ^.

Calculer I  3 J . Calculer I  J . En déduire les valeurs exactes des intégrales I et J .

1 1

fonction f

a c c+h b

f(c) f(c+h)

h

La fonction f est définie sur  ^0;  ^{par f t}   ^{e t}

 t . Déterminer les limites de la fonction

f aux bornes de son ensemble de définition. Après calcul de la dérivée et étude de son signe, déterminer les variations de f sur  ^{1; } 

On pourra pour la suite du problème raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni ci-contre. Pour tout réel x ₀ de l’intervalle  ^1;  ^{, on note}

  0

A x l’aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal l’axe des abscisses et les droites verticales d’équations x  1 et x  x ₀ .

1. Que vaut ^A   ¹ ?

2. Soit h un réel strictement positif. Justifier l’encadrement suivant :

  0  ⁰    ⁰  0 

A x h A x

f x f x h

h

 

   .

3. En déduire la dérivabilité de la fonction A en x ₀ ainsi que le nombre dérivé de la fonction A en x ₀ . Quel lien a-t-on établi entre les fonctions A et f sur l’intervalle

 ^{1; }  . Soyez précis dans votre réponse.

Surface délimitée par deux courbes

On considère deux fonctions continues f et g telles que ^{f x}    ^{g x}   sur l’intervalle   ^{a b ; .}

L’intégrale ^b    

A   a   g x  f x   dx représente l’aire, mesurée en unités d’aires de la surface comprise entre :

 La courbe représentative de f ,

 La courbe représentative de g ,

 Les deux droites x  a et x  b .

Exemple : on a représenté ci-dessus les fonctions f et g définies par ^{f x}    ^{x ²}  ^{2 x}  ² et

  ^{² 6}

g x    x . Déterminer l’aire comprise entre les deux courbes sur l’intervalle  ^{ 1;2}  ^.

Domaine délimité par deux courbes

On considère la fonction définie sur  ^{0; }  ^{par : f x}   ^ln   ^{x 1 1}

   x

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. Etudier les variations de la fonction f sur  ^{0; }  . Calculer ^f   ^{1 .}

3. Montrer que la fonction F définie par ^{F x}   ^{ x ln}   ^{x  ln}   ^x est une primitive de la fonction f . Montrer que la fonction F est strictement croissante sur l’intervalle  ^{1; }  ^.

4. Montrer que l’équation ^{F x}   ^{  1 e  1} admet une unique solution  dans l’intervalle

 ^{1; }  dont vous proposerez un encadrement d’amplitude 10 ^{ 1} .

Soit g et h les fonctions définies sur  ^{0; }  ^{par : g x}   ¹

 x et

  ^ln   ¹

h x  x  .

Sur le graphique ci-contre on a représenté dans un repère les courbes C _g et C _h .

1. Déterminer les

coordonnées du point A , intersection de la courbe C h avec l’axe des abscisses.

2. Justifier que les coordonnées du point P , intersection de C _g et de C _h sont   ^{1;1 .}

3. On note S l’aire du domaine délimité par les courbes C g , C _h et les droites d’équations respectives x  e ^{ 1} et x  1 (domaine grisé sur le graphique). Exprimer l’aire S à l’aide de la fonction f étudiée dans la partie A. Montrer que S   1 e ^{ 1} .

4. Soit t un nombre réel de l’intervalle  ^{1; }  ^{. On note} R _t l’aire du domaine délimitée par

les courbes C _g , C _h et les droites d’équations respective t s x  1 et x  t (domaine

hachuré sur le graphique). On souhaite déterminer une valeur de t pour laquelle S  R _t .

Montrer que R t  t ^ln   t  ^ln   t . Conclure.

Une propriété admise

Soit ^{S z}   l’aire de la section d’un solide par un plan parallèle au plan

 ^{x y 0}  , de côte z telle que a   z b . On admettra dans cette activité que le volume du solide est donné par le calcul suivant : ^b  

V   a S z dz

Volume d’une sphère

Le but du travail ci-dessous est de retrouver le volume de la sphère de centre O et de rayon R.

Pour tout z tel que    R z R on pose z  ON et on considère le disque, section de la sphère par un plan horizontal de hauteur

z .

1. Exprimer la longueur MN rayon du disque en fonction de R et z . 2. En déduire l’aire ^{S z}   de la surface

du disque.

3. Ecrire le volume de la sphère sous la forme d’une intégrale dont vous calculerez la valeur.

Volume d’un cône de révolution

Le but du travail ci-dessous est de retrouver le volume du cône de révolution de hauteur h et de base un disque de rayon R .

Pour tout z tel que 0   z h on pose z  ON et on considère le disque, section du cône par un plan horizontal de hauteur z .

1. Justifier l’égalité ^{HN MN} HO  OA .

2. Exprimer alors la longueur MN en fonction de R , h et z .

3. En déduire l’aire ^{S z}   de la surface du disque.

4. Ecrire le volume du cône sous la forme d’une intégrale dont vous calculerez la valeur.

O

N M

B O

H

A

N M

Exercice type bac n°1

Question supplémentaire

Dans la question 3 on admet que g est une primitive de la fonction f. Démontrer ce résultat…

Exercice type bac n°2

Exercice type bac n°3

Exercice type bac n°4

Exercice type bac n°5

Exercice type bac n°6 – Avec prises d’initiatives

Exercice type bac n°7