FORMULATION INTÉGRALE EXPLICITE POUR LE CALCUL DE L'INTERACTION D'UN FAISCEAU ULTRASONORE TRANSITOIRE AVEC DES RÉFLECTEURS

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Submitted on 1 Jan 1990

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FORMULATION INTÉGRALE EXPLICITE POUR LE CALCUL DE L’INTERACTION D’UN FAISCEAU

ULTRASONORE TRANSITOIRE AVEC DES RÉFLECTEURS

A. Lhemery, D. de Vadder

To cite this version:

A. Lhemery, D. de Vadder. FORMULATION INTÉGRALE EXPLICITE POUR LE CALCUL DE L’INTERACTION D’UN FAISCEAU ULTRASONORE TRANSITOIRE AVEC DES RÉFLECTEURS. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-439-C2-442.

�10.1051/jphyscol:19902104�. �jpa-00230384�

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C2, supplément au n02 . Tome 51, Février 1990 C2-439 1er Congrès Français d'Acoustique 1990

FORMULATION INTÉGRALE EXPLICITE POUR LE CALCUL DE L'INTERACTION D'UN FAISCEAU ULTRASONORE TRANSITOIRE AVEC DES RÉFLECTEURS

A. LHEMERY( 1 ) et D. DE VADDER

Laboratoire MSS/KRT URA 850 CNRS, Equipe Ultrasons, Ecole Centrale de Paris, Grande Voie des Vignes, F-92295 Châtenay-Malabry Cedex, France

Résumé - Une formulation intégrale explicite est proposée pour le calcul de l'émission par un traducteur, diffusion par une cible et réception d'ondes ultrasonores transitoires [ce problème est noté dans la suite E/D/R]. Cette formulation est obtenue sous des hypothèses géométriques compatibles avec les cas rencontrés en contrôle non-destructif et basée sur l'équation linéaire des ondes dans les fluides. Le calcul est fait directement dans le domaine temporel et le résultat final est une réponse impulsionnelle complètement caractéristique de la géométrie du problème.

1 - INTRODUCTION

Il n'existe pas de solution analytique dans le domaine spatio-temporel à un problème E/D/R à l'exception de géométries canoniques avec émetteur et récepteur ponctuels. Il est donc nécessaire, dès que la géométrie n'est plus triviale (cible de géométrie complexe, traducteur de taille finie) de recourir au calcul numérique. On peut distinguer alors deux types d'approche: d'une part les discrétisations directes de l'équation d'onde, par un maillage du milieu de propagation ou de ses frontières ("différences finies", "éléments finis" ou "éléments finis aux frontières") "bouclé" sur un échantillonnage temporel, d'autre part des modélisations où le calcul analytique est poussé le plus loin possible (partant de la formulation intégrale). Les codes numériques issus de la première approche fonctionnent pour une grande variété de géométrie. Du fait du gros volume de calcul numérique, ils sont souvent limités à deux dimensions d'espace. Ceux issus de la seconde sont obtenus après hypothèses et approximations géométriques restrictives mais les étapes des calculs donnent heu à des interprétations physiques intéressantes ou utilisent des résultats analytiquement connus; la spécialisation du code le rend plus efficace. Nous avons choisi cette dernière approche: le calcul présenté consiste à définir des approximations et des hypothèses géométriques limitatives pour rendre explicite la formulation intégrale générale de l'équation d'onde dans le but de calculer la réponse impulsionnelle acoustique du problème E/D/R. Le cas d'une cible ponctuelle / l / , généralisé à celui d'une cible en forme de disque 121 ont déjà été traités, mettant en évidence un principe de réciprocité émission-réception, permettant ainsi d'utiliser les solutions analytiques de l'émission impulsionnelle d'un traducteur fil. Nous proposons une généralisation de ces calculs au cas des cibles de géométrie quelconque (non-concave).

2 - OBTENTION D'UNE FORMULATION INTEGRALE EXPLICITE

La formulation de Kirchhoff est obtenue à partir de la formulation intégrale de Green de l'équation d'onde en supposant le champ acoustique initial nul et qu'il n'existe pas de source volumique: le champ de pression (pondéré par a(r)=47t/£2(r) où Î2(r) est l'angle solide sous lequel on voit le contour dV du domaine V depuis le point r) s'écrit:

(D

Le caractère mathématique implicite est la traduction de deux types de raisons physiques: d'une part la possibilité de séparation temporelle insuffisante, du fait de la diffusion des ondes par la cible, entre l'émission et la réception au niveau de la surface d'un traducteur fonctionnant en mode émission-réception, d'autre part la possibilité de trajets multiples entre différents points de la surface 9V, appelée souvent "seconde diffraction".

^ ' Adresse actuelle: The City University, School of Electrical Engineering and Applied Physics, Northampton Square, London EC1V0HB, England

Abstract - Explicit integral formulation is proposed for the calculation of radiation by a transducer, scattering by a target and reception of transient ultrasonic waves [noted by french initials E/D/R]. This formulation is obtained under geometrical assumptions, compatible with applications to non-destructive testing, and developed from the linear wave equation in fluid. Calculations are directly done in the time-domain and the final result is an impulse-response completly characteristic of the geometry of the problem.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902104

C2-440 COLLOQUE DE PHYSIQUE

Le premier type de problème est éliminé en supposant la cible suffisamment éloignée de la source acoustique qu'est le traducteur, pour que l'on puisse considérer l'6mission termin6e quand anivent sur ce même traducteur (ou un autre) les premières ondes &4mis& par la cible: on peut séparer le champincident à la cible [p,;(r;t)] émis par le traducteur et le champ diffracté par la cible. Cette hypothèse est d'autant plus facile à respecter que le traducteur est amorti, donc que l'impulsion émise est brève.

Le second type de problème est éliminé en faisant l'hypothèse, draconienne cette fois, qu'aucune partie du contour aV, autre que celle rejetée à l'infini, ne présente de concavité relativement au milieu de propagation (on peut tolérer des concavités localisées de grand rayon de courbure, comme par exemple pour la surface émettrice d'un traducteur focalisé).

Sous ces hypothèses, le champ de pression en un point de la surface de la cible n'est lié qu'au champ de pression incident et s'écrit simplement:

-

Le champ en un point du volume ou à la surface du traducteur récepteur est obtenu par substitution de (2) dans (1) et est mathématiquement explicite. Supposant que le traducteur est point à point sensible à la pression suivant la fonction de pondération T(r) [r(r)=l dans le cas d'un traducteur piston uniforme], on obtient comme pression moyenne instantanée à la surface du traducteur <p>(t), en notant T la surface du traducteur et S celle de la cible:

A ce stade, le calcul est déjà beaucoup plus simple à réaliser que par intégration de la formulation générale de Kirchhoff:

on a seulement à réaliser le calcul d'integrales explicites sur la surface de la cible et du traducteur-récepteur, le champ incident étant connu par ailleurs /3,4/. On peut cependant obtenir une formulation encore plus facile à intégrer numériquement, en ayant cette fois recours à une série d'approximations (et non plus seulement à des hypothèses x6ductrices) pour utiliser le principe de réciprocité émission/réception.

3

-

Pour simplifier l'écriture et ainsi bien distinguer les différentes étapes du calcul, nous séparons le cas général d'une impédance quelconque traité par (3) en deux formulations correspondant aux cas extrêmes d'une impédance et d'une admittance infinies de la cible relativement au milieu de propagation.

Les approximations que Son va faire dans le domaine spatio-temporel ont leur équivalent dans le domaine spatio- fréquentiel: on privilégie la précision sur les décalages temporels, équivalents de la phase et on peut être plus approximatif sur les termes où n'apparait pas de décalage temporel, équivalents de l'amplitude.

Dans les deux cas, une première approximation de type paraxial, permet d'échanger l'ordre d'intégration: on développe le produit scalaire en simplifiant le cosinus directeur comme suit (rCen,, désigne le centre du traducteur)

*Impédance infinie

Les conditions physiques à l'interface correspondent à une annulation de la vitesse particulaire. Sa variation temporelle est proportionnelle au gradient nomal de la pression: de (3), seuls subsistent les termes négatifs.

On dira que l'on a exhibé le principe de réciprocité quand on aura fait apparaître seul sous l'intégrale sur T un terme en T(r).G(t-R/c)/R, avec R = IrTrsl. En effet, cette intégrale sur la surface réceptrice sera alors écrite de manière identique à I'intégrale définissant la réponse impulsionnelle en émission [h(r,t) (potentiel impulsionnel de vitesse) ou bien sa forme dérivée (pression impulsionnelle)] de telle sorte que l'émission et la réception seront traités mathématiquement de manière indifférenciée. On rappelle ici les définitions des réponses impulsionnelles en émission, qui sont connues analytiquement pour les géométries classiques de surface du traducteur:

IrT-rI

s ^{(t- -) at}

a

ou bien d'après 141 h (r.0 = p 0 a t (6)

Le terme <p2>(t) répond directement à ce critère. En revanche, dans cpl>(t), IrT-rsl est au carré au dénominateur. On peut cependant faire apparaître le terme en G(t-R/c)/R en développant ce dénominateur avec la même argumentation géométrique d'approximation paraxiale:

Le second facteur peut être sorti de l'intégration sur T et on obtient:

En effectuant les substitutions suivantes, où v(t) est la dépendance temporelle de la vitesse particulaire à la surface du traducteur émetteur,

on obtient,

cp>(t) =

-

+

*

*

Le "Dirac" qui se trouve sous l'intégrale est le terme "unique et exact" du retard à affecter à l'expression de convolution des réponses impulsionnelles (artificiellement ramenées à l'instant t a , d'où l'indice, afin d'écrire explicitement ce retard) lors de leur calcul pour le point courant rS de la cible; il se comprend comme suit: c'est le trajet aller-retour (ce qui explique le facteur 2) minimal entre rs et le traducteur. H(t) est donc la réponse impulsionnelle acoustique du problème E P / R qu'il suffit de convoluer aux réponses acousto-électriques et électro-acoustiques pour connaître la réponse impulsionnelle gobale entre I'excitation électrique du traducteur et la tension de sortie. H(t) est significative de toute la géométrie du problème et des caractéristiques élastiques du milieu de propagation V et de son contour aV. Par ailleurs, on montre que sous les hypothèses géométriques faites et pour les bandes passantes des traducteurs utilisés en pratique, le terme Hl@) est très inférieur à H2(t), ce qui rapproche notre formulation généraie de celie présentée dans /2/.

*

Cette fois, les conditions aux limites imposent à la surpression acoustique de s'annuler à l'interface, de telle sorte que dans (3) ne subsiste plus que le terme positif:

COLLOQUE DE PHYSIQUE

L'opérateur de dérivation spatiale étant dépendant de la variable rT, il est nécessaire, dans le but d'utiliser une nouvelle fois le principe de réciprocité, de développer et d'approximer cet opérateuc

Il s'agit du même type d'approximation paraxiale: ici, on assimile la dépendance en IrT-rSI par une dépendance en IrCen,e-rSI, ce qui est vrai tant que la cible est "assez éloignée" du traducteur. On peut alors écrire l'intégrant pour la surface du traducteur sous la forme:

On a ainsi fait apparaître un terme égal à la réponse impulsionnelle à l'émission h(r,t), calculée au point courant de l'obstacle. Faisant les mêmes substitutions que dans le cas de l'impédance infinie, on a l'écriture compacte finale:

<p>(t) = v(t)

*

où H(t) réponse impulsionnelle globale émission/diffraction-réflexionlréception:

4

-

Sous deux hypothèses géométriques (éloignement et non-concavité de la cible), la formulation intégro-différentielle de Kirchhoff dim~licite devient ex~licite. Movennant ensuite une série daDDr~xiXnati~n~ &ornétriaues (essentiellement de type paraxial) Sur les termes ^O& il n'y a pas de décalage temporel, il est possible delproposeide manière rigoureuse (relativement aux hypothèses et approximations) un principe de réciprocité généralisé aux géométries traitées: la réponse impulsionnelle du probl&me E/D/R apparaît finalement sous la fonne d'une intégrale surfacique, sur la surface de la cible seulement, de l'autoconvolution de la réponse impulsionnelle en émission seule, que l'on sait calculer analytiquement pour les traducteurs couramment utilisés dans la pratique. Le calcul numérique est donc limité par rapport aux méthodes de calcul des équations intégrales implicites pour deux raisons: l'utilisation de résultats analytiques et la limitation de l'intégration ^?la seule surface de la cible. ⁱ La formulation tient compte de n'importe quel rayon de courbure de la cible. On peut choisir de faire le calcul pour un traducteur émetteur et récepteur quelconque, et en particulier choisir un traducteur ponctuel ce qui permet de calculer la réponse impulsionnelle spécifique de la cible, et par là-même envisager de définir une "signature acoustique" caractéristique d'une géométrie donnée. Il est à noter que nous avons également développé ces calculs dans le cas d'une réception séparée de l'émission ainsi que pour une impédance acoustique de la cible quelconque 151 (en négligeant les effets de la composante tangentielle de la vitesse particulaire dans la couche limite à l'interface entre le milieu de propagation et la cible). Un code numérique a été mis au point pour le calcul de ces formulations (sur micro-ordinateur grâce à leur caractère explicite) dont on peut voir des exemples de résultats pour une cible conique dans la référence 161 présentée dans ce volume.

REFERENCES

111 Weight, J.P. and Hayman A.J., J. Acou'st. Soc. Am. a ( 2 ) (1978), 396-404 121 McLaren, S. and Weight, J.P., J. Acoust. Soc. Am. a ( 6 ) (1987), 2102-21 12

/3/Fink, M.A. and Cardoso, J-F., I.E.E.E. Trans. Son. Ultrason. SU-31(4) (1984), 313-329

/4/Lhémery, A. and De Vadder, D., Proceedings of the 12th World Conference on Non-Destructive Testing, Amsterdam (1989)., 200-202

151 Lhémery, A., Thèse de doctorat de l'université du Maine (1990)

161 De Vadder, D. and Lhémery, A."Un nouveau réflecteur pour la caractérisation expérimentale des traducteurs ultrasonores", (dans ce volume)