Entiers naturels, d´enombrements

Entiers naturels, d´ enombrements

1 Propri´ et´ es fondamentales

1.1 Axiomes de la construction Remarque.

Rappel.

Th´eor`eme.

L’ensemble Nposs`ede les trois propri´et´es suivantes :

(a) Plus petit ´el´ement:toute partie A€ N non vide poss`ede un plus petit ´el´ement ;

(b) Plus grand ´el´ement:toute partie A€ Nnon vide et major´ee poss`ede un plus grand ´el´ement ;

(c) Nn’a pas de plus grand ´el´ement.

1.2 Division euclidienne

Th´eor`eme (de la division euclidienne).

Soit pa, bq P N² avec b0. Alors il existe un unique couplepq, rq P N² tel que :

#

abq r 0¤r b

q s’appelle lequotient et r lereste dans la division euclidienne deaparb.

Exemple.

1.3 R´ecurrence

Th´eor`eme (Principe de r´ecurrence).

Soit Ppnq une propri´et´e math´ematique d´ependant d’un entier naturel n.

Si

"

p1q Pp0q est vraie

p2q @kP N, Ppkq ùñ Ppk 1q

alorsPpnq est vraie pour toutnP N.

Variante – R´ecurrence `a partir de n0. Variante – R´ecurrence forte.

Variante – R´ecurrence double.

Rappel. On a vu, au chapitre 0, la r´edaction d’un raisonnement par r´ecurrence.

Exemple.

Exemple. On notepFnqn la suite de Fibonacci. Montrer queFnP Npour toutn.

2 Ensembles finis, d´ enombrements

2.1 D´efinition

Lemme.Soit netp non nuls dansN². Alors :

• Il existe une injection t1, . . . , nu Ñ t1, . . . , pu ðñ n¤p

• Il existe une surjection t1, . . . , nu Ñ t1, . . . , pu ðñ n¥p

• Il existe une bijection t1, . . . , nu Ñ t1, . . . , pu ðñ np

• Toute injection de t1, . . . , nu Ñ t1, . . . , nuest bijective

• Toute surjection de t1, . . . , nu Ñ t1, . . . , nu est bijective

D´efinition. Soit E un ensemble. On dit queE est finis’il existe nP N et une bijection entreE ett1, . . . , nu. Ce nest unique ; on l’appelle le cardinalde E et on le note CardpEq (ou parfois #pEq).

Convention.. L’ensemble vide est consid´er´e comme fini, de cardinal 0.

D´efinition. On dit queE estinfinisi et seulement s’il existe une injection de N ÑE.

Attention.

Remarque.

2.2 Partie d’un ensemble fini, union d’ensembles finis Propri´et´e.

(a) SiE est un ensemble fini, alors toute partieF deE estun ensemble fini et CardpFq ¤CardpEq

(b) E F ðñ F €E etCardECardF.

(c) Toute intersection d’ensembles finis est un ensemble fini.

(d) Si E et F sont deux ensembles finis disjoints, alors E YF est un ensemble fini et CardpE YFq

CardpEq CardpFq.

G´en´eralisation par r´ecurrence au cas d’une union finie disjointe d’ensembles finis.

(e) SiE etF sont deux ensembles finis, alors EYF est un ensemble fini et

CardpEYFq CardpEq CardpFq CardpEXFq

2.3 Produit cart´esien Th´eor`eme.

Soit E etF deux ensembles finis. Alors EF est fini, et CardpEFq CardpEq CardpFq.

Corollaire.SiEest fini de cardinalp, alorsEⁿest fini de cardinalpⁿ. Il s’agit du nombre den-uplets d’´elements de E (avec r´ep´etition ´eventuelle).

Exemple. Combien peut-on ´ecrire de mots de 3 lettres ?

2.4 Nombre d’applications

Th´eor`eme.

Soit E de cardinalp etF de cardinaln. Alors F^E est fini de cardinaln^pCardpFq^CardpEq

Corollaire. SiE est fini, alorsPpEqest fini et CardpPpEqq 2^CardpEq. 2.5 Nombre d’injections

Th´eor`eme.

Soit E un ensemble `a p´el´ements et F `a n ´el´ements, avec p ¤n. Il y a un nombre fini d’injections

de E dans F, et ce nombre est A^pnnpn1q pnp 1q _pn^n!_pq!

Exemple. Combien y a-t-il de tierc´es dans l’ordre pour dix chevaux au d´epart ? Corollaire. Le nombre de bijections entre deux ensembles `a n´el´ements estn!.

Remarque. On appellepermutation de E

Exemple. De combien de fa¸cons peut-on placer dix convives autour d’une table ? Remarque.

2.6 Nombres de parties d’un ensemble Rappel.

D´efinition. Soit E un ensemble fini de cardinal net p ¤ n. On appelle combinaison de p ´el´ements de E toute partie de E `ap ´el´ements.

On note C^pn ⁿ_p

le nombre de combinaisons `a p´el´ements dans un ensemble `an´el´ements.

Th´eor`eme.

Si p¤n, alors

n p

n!

pnpq!p!

Propri´et´e.

(a)

¸n k0

n k

2ⁿ (interpr´etation ensembliste)

(b) @pP t0. . . nu ⁿ_p

_nⁿ_p

(c) p¡n ùñ ⁿ_p

0

(d) @n, p ⁿ_p ¹₁

_pⁿ_{1 n}

p

Remarque.

Cons´equence. Le triangle dePascal :

n\p 0 1 2 3 4 5 6

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

2.7 Formule du binˆome de Newton Th´eor`eme.

Soit pa, bq P C² et soitnP N. On a

pa bqⁿ

¸n p0

n p

a^pb^np

¸n p0

n p

a^npb^p

Remarque.

2.8 Num´erotation en base b Th´eor`eme.

Soit nP N. Il s’´ecrit de fa¸con unique, appel´ee´ecriture d´ecimale de n:

na_k10^k a_k110^k1 a₁10 a₀1 avec 0¤a_i  10

Plus g´en´eralement, si pP N, alorsns’´ecrit de fa¸con unique appel´ee´ecriture en base p de n: nb_k1p^k1 b_k11p^k11 b1p b01 avec 0¤bi  p

pak, . . . , a0q10 s’appellent les chiffres de n en base 10 et pb_k1, . . . , b0qp s’appellent les chiffres de n en

basep

Exemple. Les chiffres en base 16 sont not´es t0, . . . ,9, A, B, C, D, E, Fu. D´eterminer les chiffres de cette ann´ee en bases 10, 2 et 16.

Mise en œuvre avec Maple.

> conversion := proc (n::nonnegint, b::posint) local a, l, r;

l := NULL;

a := n;

while is(a <> 0) do r := irem (a, b);

l := r,l;

a := iquo(a,b);

od;

[l];

end:

conversion(946,2);

conversion(256,2);

[1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0]

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

Autourdelar´ecurrence 22.1D´emontrerparr´ecurrenceque@n¥2

n¸ k11 kestlequotient d’unnombreimpairparunnombrepair. End´eduireque

n¸ k11 kn’estjamaisentier,pourn¥2.entierdenomb_12.tex 22.2D´emontrerparr´ecurrenceque @nPN ,

2n¸ k1p1qk1 k

n¸ k1

1 nk entierdenomb_13.tex 22.3D´emontrerquepourtoutnPN ,ona: n¸ k1k2 npn1qp2n1q 6et

n¸ k1k3 npn1q 2

2 entierdenomb_14.tex 22.4D´emontrerquepourtoutcoupled’entierspn,pqtelquen¥p, ona: n¸ kp k p n1 p1 entierdenomb_15.tex 22.5Quepenserdesdeuxraisonnementssuivants? (a)Toutensembledenpn¥2qpointsduplanestform´edepoints align´es. Preuveparr´ecurrence: •Lapropri´et´eestvraiepourn2(´evident); •supposonslapropri´et´evraiepournpoints; •soitA1,,An1pn1qpointsduplan.Onpeutalorsconsi- d´ererlessous-ensemblestA1,,AnuettA2,,An1ufor- m´esdenpointsduplan.D’apr`esl’hypoth`eseder´ecurrence, A1,,Ansontalign´es,etA2,,An1aussi.Lespoints A2,,Ansontcommuns`acesdeuxdroites,quisontdonc ´egales.Lapropri´et´eestvraiepourpn1qpoints:

•d’apr`esleprincipederaisonnementparr´ecurrence,lepropri´et´e estvraie@n¥2. (b)PourtoutnPN ,10n p1qn estdivisiblepar11.Unrai- sonnementparr´ecurrence,tr`essimple,suffit`aleprouver:si lapropri´et´eestvraiepourn,alors10n p1qn 11qet 10n1 p1qn1 10p10n p1qn q10p1qn p1qn1 1011qp1qn p11q11p10qp1qn1 q;lapropri´et´eest doncvraiepourn1. entierdenomb_16.tex 22.6Montrerparr´ecurrencesurnquepourtouttPs0,2πr: n¸ k1cosktsinnt 2cosn1 2t sint 2 entierdenomb_21.tex D´enombrement 22.7D´enombrerlesanagrammesdesmotssuivants: ACTEURLECTEURELECTEUR entierdenomb_1.tex 22.8SoitMunmotdemlettresdistinctesetPunmotdep lettresdistinctesform´eavecdeslettresdumotM.Chercherlenombre d’anagrammesdeM.ChercherlenombredesanagrammesdeMdont plettrescons´ecutivesformentlemotP(dansl’ordre).Chercherle nombredesanagrammesdeMdontplettrescons´ecutivessontcelles dumotP(dansled´esordre). entierdenomb_2.tex 22.9Unlivreurdoitdistribuerdescolis`acinqpersonnesA,B, C,D,E.Combienya-t-ildetrajetspossibles?S’ilsouhaitelivrerA avantBetC,combienya-t-ildetrajetspossibles?entierdenomb_3.tex 22.10Onconsid`eretouslesnombresdesixchiffresform´esavec1, 2,3,4,5,6,chacun´etantutilis´eunefois. (a)Combienenexiste-t-il? (b)Sionlesordonneparvaleurcroissante,quelestlerangde 362145?Quelestle500-`emenombre?

(c)Calculerlasommedetouscesnombres. entierdenomb_4.tex 22.11D´enombrementdessurjections. SoitAetBdeuxensemblesfinis,avecCardpAqnetCardpBqp. AppelonsS^{p n}lenombredesurjectionsdeAsurB. (a)D´eterminerdirectementS0 n,S1 n(avecn0),S^{n n},S^{p n}sip¡n. (b)D´emontrerqueS2 n2n 2 (c)OnfixeaPA. PourbPB,d´eterminerlenombred’applicationssurjectivesde AÑBtellesquefpaqb.End´eduirelaformule @nPNrt0,1u,@p¤n,Sp np Sp1 n1Sp n1 (d)DonnerlesvaleursdeS^{p n}pourpn,pqPt0,1,2,3,4,5u2 (e)D´emontrerque @pn,pqPN N ,p¤n,pn ^p1¸ k0 p k Spk n (f)MontrerqueS^{n n}1npn1q! 2pourtoutn¥1. entierdenomb_5.tex Coefficientsbinomiaux 22.12D´emontrerque@pp,nqPN N ,pn p nn1 p1 .En d´eduirelavaleurdeS

n¸ k1k n k

.entierdenomb_6.tex 22.13Soitnunnombrepremieretptelque0 p n.D´e- montrerquendivisen p .End´eduirequepourtoutaPN,ndivise pa1qn an 1.entierdenomb_7.tex 22.14Reconnaˆıtrelafonctionpolynˆome f:xÞÑ

n¸ p0

n p

xp1 p1

End´eduirelavaleurde

n¸ p0

1 p1

n p

entierdenomb_8.tex 22.15Sommedespuissancesp-`emesdesnpremiersentiers. Sn,p

n¸ k1kp Utiliserled´eveloppementdepk1qp1 ,´ecritpourk1,,n,pour exprimerpn1qp1 `al’aidedesSn,m,avec1¤m¤p.Calculerainside procheenprocheSn,1,Sn,2,Sn,3,Sn,4pourtoutnPN.entierdenomb_9.tex Divers 22.16Trouverunexempled’ensemblestrictementinclusdansN, quisoitenbijectionavecN.entierdenomb_10.tex 22.17

` A

partirdecombiend’´el`evesest-onsˆurdetrouverdeux ´el`evesportantlesmˆemesinitialesdansunlyc´ee?entierdenomb_11.tex 22.18UnebijectiondeNNdansN. Soitf:NNÑN pn,mqÞÑpnmqpnm1q 2m (a)D´emontrerque0PfpNNq; (b)soitpfpn,mq;d´emontrerquesin¥1alorsfpn1,m1q p1;d´emontrerquesin0alorsp1fpm1,0q; (c)d´emontrer,parr´ecurrence,quefestsurjective; (d)d´emontrerquesifpn,mqfpn1 ,m1 qalors: (d.1)2pnmqpn1 m1 nmqpnmn1 m1 1q; (d.2)n1 m1 nmùñm1 metn1 n; (d.3)n1 m1 nm1estimpossible; (d.4)n1 m1 ¥nm2estimpossible; (e)end´eduirequefestinjective,etfinalementbijective.

entierdenomb_17.tex 22.19Soitnunentiernaturel.Dansleplanmunid’unrep`ere orthonorm´e,onappelleEnl’ensembledespointsdontlescoordonn´ees sontdesnombresentierscompris,ausenslarge,entre0etn. (a)Combienya-t-ildesegmentsnonr´eduits`aunpointsdontles extr´emit´essontdansEn,etquisontparall`eles`al’undesaxesde coordonn´ees? (b)Combienya-t-ilderectanglesnonr´eduits`aunsegmentdontles sommetssontdansEnetdontlescˆot´essontparall`elesauxaxes? (Onpourrad´enombrerlesdiagonales) (c)Parmicesrectangles,combiensontdescarr´es?

entierdenomb_18.tex 22.20SoitEunensemblefinidecardinaln.D´eterminerlenombre decouplespA,BqPPpEqPpEqtelsqueA€B.entierdenomb_19.tex 22.21Combienya-t-ildesurjectionsdet1,...,n1udans t1,...,nu?entierdenomb_20.tex 22.22D´eterminerlenombred’applicationscroissantesdet1,...,pu danst1,...,nu.entierdenomb_22.tex 22.23Calculer:

n¸ k0 kpair

n k

et

n¸ k0 kimpair

n k

entierdenomb_23.tex