Soient k , m , n trois entiers naturels non nuls avec k ≤ m et k ≤ n . On note m

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soient k , m , n trois entiers naturels non nuls avec k ≤ m et k ≤ n . On note m

le produit de k entiers consécutifs décroissants à partir de m

m

= m(m − 1) · · ·

| {z }

kfacteurs

= m(m − 1) · · · (m − k + 1)

On dira que m

est une puissance descendante de m . On note

n k

le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments en k parties non vides.

Par exemple 3

2

= 3 car les partitions de {a, b, c} en deux parties non vides sont {{a, b}, {c}} , {{b, c}, {a}} , {{c, a}, {b}}

1. En précisant dans chaque cas l'ensemble des partitions à considérer, calculer 4

1

, 4

2

, 4

3

, 4

4

2. Soit A et X deux ensembles, respectivement de cardinal n et m , soit k entier entre 1 et min(m, n) . On note

Π

: l'ensemble des partitions de A en k parties non vides.

F

: l'ensemble des fonctions de A dans X telles que ](f (A)) = k . a. Soit f ∈ F

et f (A) = {y

, y

, · · · , y

} . On note

π(f ) =

f

({y

}), i ∈ {1, · · · , k}

Montrer que π(f ) ∈ Π

c'est à dire une partition de A en k parties non vides.

b. Soit f ∈ F

. Quel est le cardinal de l'ensemble des g ∈ F

telles que π(g) = π(f ) ? 3. Montrer que

m

=

min(m,n)

X

k=1

n k

m

Corrigé

1. Soit E = {a, b, c, d} l'ensemble à 4 éléments dont on forme les partitions. Les nombres cherchés sont respectivement 1, 7, 6, 1. En eet :

Une seule partition en une seule partie : {E}

Sept partitions en deux parties :

{{b, c, d}, {a}}, {{a, c, d}, {b}}, {{a, b, d}, {c}}, {{a, b, c}, {d}}, {{a, b}, {c, d}}, {{a, c}, {b, d}}, {{a, d}, {b, c}}

Six partitions en trois parties :

{{a, b}, {c}, {d}}, {{a, c}, {b}, {d}}, {{a, d}, {b}, {c}}, {{b, c}, {a}, {d}}, {{b, d}, {a}, {c}}, {{c, d}, {a}, {b}}

Une seule partition en quatre éléments constituée des singletons : {{a}, {b}, {c}, {d}}

2. a. Les k éléments de π(f ) sont des parties de A . On doit montrer qu'ils constituent une partition de A c'est à dire que tout x ∈ A est dans l'une de ces parties et que deux parties distinctes sont disjointes.

Soit x ∈ A , alors f (x) ∈ f (A) donc il existe un i tel que f(x) = y

ce qui entraine x ∈ f

({y

}) .

Soit y

et y

distincts, alors :

x ∈ f

({y

}) ⇒ f (x) = y

x

∈ f

({y

}) ⇒ f (x

) = y

)

⇒ x 6= x

car y

6= y

donc f

({y

}) ∩ f

({y

}) = ∅ .

On pourrait aussi remarquer que les f

({y

}) sont les classes d'équivalence de la relation dénie par f :

xR

y ⇔ f (x) = f (y)

b. Soit P = π(f ) la partition en k parties associée à f . Quelles sont les f ∈ F

telles que P = π(f ) ?

Sur chaque élément de P (un tel élément est une partie de A ), les fonctions f et g sont constantes mais elles ne prennent pas forcément la même valeur. D'autre part ces k valeurs sont deux à deux distinctes. Le nombre de ces fonctions est

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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donc le même que le nombre de k -uplets d'éléments de X deux à deux distincts c'est à dire encore le nombre d'injections d'un ensemble à k éléments dans un ensemble à m éléments. Sot d'après le cours

m(m − 1) · · · (m − k + 1) = m

3. On classe d'abord l'ensemble des fonctions de A dans X suivant le cardinal de l'image de A . Ce cardinal est compris entre 0 et min(m, n) . D'après le cours, on connait le nombre total de ces fonctions. Il vient

m

=

min(m,n)

X

k=1

]F

On classe ensuite les f d'un même F

suivant leur π(f ) . Le nombre de partitions est n

k

. Pour chaque partition P , le nombre de f telles que π(f ) = P est m

. On en déduit la formule demandée.

]F

= n

k

n

⇒ m

=

min(m,n)

X

k=1

n k

m

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