E115. Un impair, deux pairs, trois impairs...
On considère la suite strictement croissante des entiers naturels qui commence par le premier nombre impair (1) puis se poursuit avec les deux nombres pairs qui suivent 1 : 2 et 4 puis avec les trois nombres impairs qui suivent 4 : 5,7 et 9, puis avec les quatre nombres pairs qui suivent 9 : 10, 12, 14 et 16 etc..
Trouver le 2009ième terme puis donner la formule exprimant le n-ième terme en fonction de n.
Solution de Pierre Gineste
Disposons les nombres de la suite:
l1 1
l2 2 4
l3 5 7 9
l4 10 12 14 16
l5 17 19 21 23 25
l6...
On remarque que dans la ligne l(n) il y a n nombres et que le dernier d'entre eux, d(ln) est n^2.
Il est aisé de montrer pourquoi. Supposons que le dernier nombre de la ligne ln est n^2. C'est le N-ième nombre: N = somme_de_1_à_n(i) = n(n+1)/2
Quelle sera le dernier nombre de la ligne l(n+1)? Il y a (n+1)nombres dans cette ligne. Donc:
d(l(n+1)) = n^2 + 1 + 2n = (n+1)^2
Pour un rang N donné, il faut trouver n tel que; n(n+1)/2 =< N <(n+1)(n+2)/2, n et N étant de parité contraire.
==> le nombre de rang N recherché est M = n^2 + 1 + 2(N – n(n+1)/2 – 1) = 2N – n -1 Application: N = 2009 n = 62 M = 3955
