Un impair, deux pairs, trois impairs
Problème E115 de Diophante
On considère la suite strictement croissante des entiers naturels qui commence par le premier nombre impair (1) puis se poursuit avec les deux nombres pairs qui suivent 1 : 2 et 4 puis avec les trois nombres impairs qui suivent 4 : 5,7 et 9, puis avec les quatre nombres pairs qui suivent 9 : 10, 12, 14 et 16 etc..
Trouver le 2009ième terme puis donner la formule exprimant le n-ième terme en fonction de n.
Solution
Regardons les premiers termes :
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28. … 1- . 2 . - . 3 . - . 4 . - . 5 . - . … On constate que k2 et k2+1 apparaissent consécutivement et que k2 est au rang 1+2+ … +k, soit k(k+1)/2 (kiéme nombre triangulaire).
Pour connaître la valeur S(n) du terme de rang n, il s’agit de placer n parmi les nombres triangulaires.
Notons kn le plus petit entier k tel que n ≤ k(k+1)/2 alors : kn = valeur entière par excès de [rac(2n +1/4) – 1/2]
et S(n) = k2n – 2*(kn(kn+1)/2 - n) = 2n - kn
Pour n = 2009, on a rac(4018,25) = 63,3… ; k2009 = 63 et S(2009) = 3955
