E133 − Beaucoup d'appelés mais peu d'élus [*****]
Trouver le plus grand entier n tel qu'il existe une suite composée de n entiers strictement positifs dans laquelle chaque terme ne divise pas les n − 1 autres et parmi trois termes quelconques, l'un divise la somme des deux autres.
Solution
Un court programme informatique permet d'identifier des suites de 6 entiers qui satisfont les conditions de l'énoncé.
Par exemple:
2,3,5,7,193,3467 2,3,5,7,107,10613 2,3,5,7,403,7247 2,3,5,7,613,11027 2,3,5,13,107,10267 2,3,513,127,17267 2,3,5,17,73,13867 etc...
Le programme limité aux entiers ≤ 10⁷ ne donne aucune suite de sept termes.
On va démontrer que la suite comporte six termes au maximum.
On peut ramener le problème au cas où tous les nombres de la suite sont relativement premiers. Sinon il suffit de les diviser par leur PGCD.
Lemme n°1 : Il y a au plus deux nombres pairs
Supposons qu'il y ait trois entiers pairs x₁,x₂ et x₃. Soit un quatrième terme a impair. Comme a + xi est impair quel que soit i = 1,2,3, on ne peut pas avoir un terme pair xj qui divise un terme impair a + xi. Il en résulte que a divise à la fois x₁ + x₂, x₁ + x₃ et x₂ + x₃.
Donc a divise x₂ + x₃ et x₂ − x₃, ou encore 2x₂.Donc a divise x₂. Contradiction
Lemme n°2 : Si xi est le plus grand des trois termes xi, xj et xk, alors xi divise xj + xk si et seulement si xi = xj + xk
En effet xi ≥ (xj + xk)/2 entraîne xi = xj + xk
Lemme n°3: S'il y a deux entiers pairs, alors le plus grand des deux est le plus grand terme de la suite
Soient xi et xj les deux entiers pairs avec xj > xi. Si xj n'est pas le plus grand terme de la suite, comme il est impossible que l'entier pair xi(ou xj) divise la somme impaire a + xj (ou a + xi), alors il existe un entier impair a qui divise la somme des deux entiers pairs.D'après le lemme n°2, a est la somme de ces deux entiers. Contradiction.
Lemme n°4: S'il existe une suite convenable de n termes impairs qui satisfait les conditions de l'énoncé, alors il existe une suite convenable de n + 1 termes qui contient l'entier 2.
L'entier 2 ajouté comme (n + 1)ième terme convient car il ne divise aucun des termes impairs de la suite et à l'inverse il divise la somme de deux quelconques d'entre eux.
Lemme n°5 : Si une suite convenable contient n termes dont un au moins est pair, alors il existe une suite convenable de n termes également qui contient 2 comme seul terme pair.
Deux cas sont à considérer:
1°) La suite contient un seul terme pair > 2. On remplace ce terme par 2 et on vérifie aisément que la nouvelle suite est toujours convenable.
2°) La suite contient n − 2 termes impairs et deux termes pairs dont le plus grand p₂ est le plus grand terme de la suite. On remplace ce dernier par le produit des termes impairs auquel on ajoute p₂. On obtient un (n − 1)ième terme impair et l'on vérifie que la nouvelle suite est convenable.
La suite 2,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇ n'existe pas avec les termes xi tous impairs pour i = 2 à 7 On considère les triplets {xi,xj,x₇}. Il y a C(5,2)= 10 triplets avec les entiers xi et xj choisis parmi les cinq entiers x₂,x₃,x₄,x₅,x₆.
L'entier x₇ ne peut pas diviser la somme des deux autres termes car tous les termes sont impairs et comme il est le plus grand des trois termes, d'après le lemme n°2, il est égal à leur somme qui est paire. Contradiction.
Quant à x₆, il divise au plus l'un des dix triplets car s'il divise xi + x₇ et xj + x₇ (avec xj > xi) il divise xj − xi en contradiction avec x₆ > xi, xj.
Dès lors x₂,x₃,x₄,x₅ divisent 10 − 1 = 9 triplets. Par le principe des tiroirs, l'un des quatre termes divise au moins trois triplets. On le désigne par xi et il divise les sommes xj + x₇, xk + x₇ et xl + x₇.
Supposons xj < xk < xl. Alors xj = xk = xl modulo xi, ce qui entraine xi < xk . En d'autres termes xi divise xk − xj ainsi que xl − xk.
Le terme xi ne peut pas diviser xj + xk.Sinon il diviserait à la fois xk − xj et xk + xj,c'est à dire 2xk et comme il ne divise pas xk,il serait un entier pair. Contradiction.
De la même manière xi ne peut diviser ni xj + xl ni xk + xl.
D'après le lemme n°2 et sachant qu'un terme quelconque étant impair ne peut pas être la somme de deux autres termes impairs, il en résulte que :
xj divise xi + xk , xj divise xi + xl et xk divise xi + xl.
Soit le triplet xj,xk ,xl .Si xj divise xk + xl, xj diviserait les trois termes xi + xk, xi + xl et xk + xl, xj diviserait alors xl − xk ainsi que xk + xl donc 2xl et étant impair diviserait xl. Contradiction.
Dès lors d'après le lemme n°2, xk divise xj + xl, ce qui entraine que xk divise xj + xl et xi + xl, C'est impossible car xk diviserait xj − xi ou xi − xj,en contradiction avec xk> xi,xj.
De cette manière il est impossible que xi divise trois sommes contenant x7 et aucune suite de 7 termes commençant par 2 ne convient. D'après le lemme n°5, il en est de même de toute suite de 7 termes qui contient 2 termes pairs.
Source: https://artofproblemsolving.com/community/c6h1435897p8133686
