E115. Un impair, deux pairs, trois impairs...
On considère la suite strictement croissante des entiers naturels qui commence par le premier nombre impair (1) puis se poursuit avec les deux nombres pairs qui suivent 1 : 2 et 4 puis avec les trois nombres impairs qui suivent 4 : 5,7 et 9, puis avec les quatre nombres pairs qui suivent 9 : 10, 12, 14 et 16 etc...
Trouver le 2009ième terme puis donner la formule exprimant le n-ième terme en fonction de n.
Soit la suite définie dans l’énoncé :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 … 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36 37 39 41 43 … On constate que = + 1 = 1,2,4,7,11,16,22 … 2
On s’intéresse à la suite = 1,2,4,7,11,16,22 … , et on remarque que = + − 1, ce qui donne, en sommant tous les termes antérieurs à : = 1 + 1 + 2 + ⋯ + − 1 = 1 +" #$ =$"$− + 2#.
On considère maintenant la suite % définie par &= & + 2 : &= &'+ 2 = &− 1 ∗ ")*+, , - ù ≤ # On résout alors l’équation = =$"$− + 2# qui donne =$01 + √8 − 73 D’où, avec '= 0, et 5"6# = partie entière de 6 :
= 2 − 5 @1
2 01 + √8 − 73A Le 2009ème terme est :
$''B= 4018 − 5"63.874# = 3955
