E133. Beaucoup d'appelés mais peu d'élus
Trouver le plus grand entier n tel qu'il existe une suite composée de n entiers strictement positifs dans laquelle
1. chaque terme ne divise pas les n − 1 autres
2. parmi trois termes quelconques, l'un divise la somme des deux autres.
Commentaires de Patrick Gordon
L'énoncé ne dit pas n entiers strictement positifs distincts, mais c'est impliqué par le fait que chaque terme ne divise pas les n − 1 autres.
Toute solution en nombres impairs peut être complétée par l'adjonction de 2, puisque, dans tout triplet 2, a, b (a et b impairs), 2 divise a+b.
On peut donc, dans un premier temps, ne travailler que sur des impairs.
Lemme
Pour a et b donnés, quelles valeurs de x forment un triplet (a, b, x) qui satisfait les conditions (1) et (2) (ce qu'on appellera un "triplet bleu")?
Il faut que (ou / ou / ou) :
x divise a+b a divise x+b b divise x+a Exemple : a = 3, b = 7 Les solutions x sont :
pour x divise a+b : 5 pour a divise x+b : 2 + 3t pour b divise x+a : 4 + 7t'
Soit, en termes littéraux, pour a < b impairs :
pour x divise a+b : x= (a+b)/2
pour a divise x+b : x = a–mod(b;a) + at pour b divise x+a : x = b–a + bt'
En particulier, tout triplet p–q, p, p+q est un "triplet bleu".
Ensuite
Partant de 3 entiers impairs en PA, quel entier impair x peut-on ajouter?
Raisonnons d'abord sur un exemple : 3, 7, 11
Il faut que (3, 7, x), (3, 11, x) et (7, 11, x) soient des "triplets bleus".
Compte tenu des résultats littéraux ci-dessus, on trouve pour x (avec les parités appropriées et en excluant 3, 7, 11 déjà pris) :
pour (3, 7, x) x = 5, 2+3t, 4+7t'
pour (3, 11, x) x = 7, 1+3t, 8+11t'
pour (7, 11, x) x = 9, 3+7t, 4+11t'
Il n'y a aucune valeur commune. On peut conjecturer qu'il n'y a pas de solution à plus de 3 termes impairs en PA.
Repartons donc de a et b et cherchons un troisième terme qui ne soit pas la suite de la PA, soit x ≠ 2b – a.
Les formules littérales le permettent. Gardant les valeurs numériques a=3 et b=7, nous pouvons prendre, par exemple, x = 25, car b=7 divise a+x = 28.
Partant de 3, 7, 25, quel quatrième nombre peut-on ajouter?
On peut songer à 17, car
- dans (17, 3, 7), 3 divise 24 - dans (17, 3, 25), 3 divise 42 - dans (17, 7, 25), 7 divise 42 Nous arrivons à la suite 3, 7, 17, 25.
Repartons donc de 3, 7, 17, 25. Essayons d'ajouter k.
- dans (3, 7, k), 3 doit diviser (7 + k) ou 7 doit diviser (3 + k) - dans (3, 17, k), 3 doit diviser (17 + k) ou 17 doit diviser (3 + k)
3 ne peut pas diviser à la fois (7 + k) et (17 + k)
(3 + k) ne peut être multiple à la fois de 7 et 17 que si k = 7×17 – 3 =116, nombre pair Il faut donc "croiser" :
- 3 divise (7 + k) et 17 divise (3 + k)?
7 + k = 3u 3 + k = 17v 3u – 17v = 4
u = 7 + 17 t v = 1 + 3 t
k = 3u – 7 = 21 – 51t – 7 = 14 – 51t
La seule solution > 0 est t = 0 donc k = 14, qui ne convient pas car pair.
- 3 divise (17 + k) et 7 divise (3 + k)?
17 + k = 3u 3 + k = 7v 3u –7v = 14
u = 7 t v = – 2 + 3 t
k = 7v – 3 = – 14 + 21t – 3 = 21t – 17
La plus petite solution impaire est k = 42 – 17 = 25, déjà présent. Ensuite vient k = 25 + 42 = 67.
On a bien :
- dans (3, 7, 67), 7 divise 70 - dans (3, 17, 67), 3 divise 84 - dans (7, 17, 67), 7 divise 84.
Mais les triplets (3, 25, 67) (7, 25, 67) (17, 25, 67) ne satisfont pas la condition (2).
Plus généralement essayons k = 42x – 17. Il ne satisfait la condition (2) dans (3, 25, k) que si :
- k + 3 = 42x – 14 = 14 (3x – 1) est divisible par 25, soit (pour que k soit impair) k = 697 + 50y
ou :
- k + 25 = 42x + 8 est divisible par 3, ce qui n'est pas possible.
Reste donc seulement 697 + 50y.
Mais il faut aussi que k = 42x – 17 satisfasse la condition (2) dans (7, 25, k), ce qui n'est possible que si :
- k + 7 = 42x – 10 est divisible par 25, soit (pour que k soit impair) k = 193 + 1050y ou :
- k + 25 = 42x + 8 est divisible par 7, ce qui n'est pas possible.
Or k ne peut être égal à la fois à 697 + 50y et à 193 + 1050y'.
C'est râpé, mais je me suis bien amusé!
Je reste donc avec la solution 2, 3, 7, 17, 25.
