MPSI B DS 09 29 juin 2019
Exercice 1
Soit n et m deux nombres entiers positifs ou nuls et x un nombre réel. On considère l'intégrale
J n,m (x) = Z x
0
(x − t) n t m dt.
1. Exprimer J n,m (x) en fonction de J n−1,m+1 (x) pour n ≥ 1 . 2. En déduire une expression de J n,m (x). (on calculera J 0,n+m (x) )
3. En développant le binôme (x − t) n , donner une nouvelle expression de J n,m (x) . 4. Déduire des questions précédentes la valeur des sommes
n
X
p=0
(−1) p
p!(n − p)!(m + p + 1) .
5. Soit x un nombre réel. Calculer successivement sous les hypothèses a., b., c., d. l'inté- grale
F (x) = Z x
0
f (x − t)f(t)dt.
a. f (t) = e t .
b. f (t) = t k où k ∈ N.
c. f (t) = 1−t 1 en supposant x < 1 . d. f (t) =
1 si t ∈ [0, 1]
0 si t / ∈ [0, 1]
Exercice 2
Pour tout entier n ≥ 0 , on dénit
I n = Z 1
0
(1 + t) n 1 + t 2 dt 1. Calculer I 0 et I 1 .
2. Etablir l'existence d'un polynôme P n et de réels a n et b n tels que (1 + t) n
1 + t 2 = P n (t) + a n + b n t 1 + t 2
Montrer que a n et b n vérient la même relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coecients constants. Les exprimer au moyen de 2
n2, cos(n π 4 ) , sin(n π 4 ) .
3. Montrer que I n peut s'écrire sous la forme p n + q n ln 2 + r n π où (p n ) n∈ N , (q n ) n∈ N , (r n ) n∈ N sont trois suites de nombres rationnels. Pour quelles valeurs de l'entier n a-t- on q n = 0 .
4. Calculer
I n+2 − 2I n+1 + 2I n
q n+2 − 2q n+1 + 2q n
r n+2 − 2r n+1 + 2r n
et établir une récurrence entre les p n . Que vaut p 5 ? (on mettra le résultat sous la forme d'une fraction irréductible)
5. En intégrant par parties, trouver des constantes A et B telles que I n = 2 n
n (A + B n + ◦( 1
n )) Exercice 3
Cet exercice repose sur l'utilisation de sommes de Riemann. Il convient de citer le théo- rème utilisé et de préciser la fonction à laquelle on l'applique.
Deux suites (a n ) n∈ N∗ et (b n ) n∈ N∗ sont dénies par :
sont dénies par :
∀n ∈ N ∗ , a n =
n−1
X
k=0
n
(n + k) 2 , b n = 1 2 −
n−1
X
k=0
n (n + k) 2 . 1. Calculer
Z 1
0
dx (1 + x) 2 . 2. Montrer la convergence et calculer la limite de (a n ) n∈ N∗. 3. Soit F ∈ C 2 ([a, b]) .
a. Appliquer à la fonction F la formule de Taylor avec reste intégral entre a et b à l'ordre 1 .
b. En déduire l'existence d'un c ∈ [a, b] tel que
F (b) = F(a) + (b − a)F 0 (a) + (b − a) 2
2 F 00 (c) (reste de Lagrange) . 4. a. Pour n ∈ N ∗ , en utilisant la question 3.b. à des intervalles et à une fonction
soigneusement précisés, montrer que nb n est une somme de Riemann.
b. En déduire un développement limité de la suite (a n ) n∈N∗.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0409EMPSI B DS 09 29 juin 2019
Exercice 4
Cet exercice repose sur l'utilisation de la décomposition en éléments simples.
Montrer la convergence et calculer la limite de la suite
n
X
k=3
4k − 3 k(k − 2)(k + 2)
!
n∈ N
Exercice 5
On dénit des fonctions u , v , w dans R ∗ en posant pour tout réel x non nul u(x) = |x| x , v(x) = (u(x)) x , w(x) = |x| u(x) .
1. Montrer que u , v , w admettent en 0 des limites nies notées respectivement u 0 , v 0 , w 0
à préciser. On prolonge alors les fonctions en posant
u(0) = u 0 , v(0) = v 0 , w(0) = w 0 .
2. Pour chacune de ces trois fonctions a. Étudier le comportement en +∞ . b. Étudier la dérivabilité en 0.
c. Déterminer des développements limités en 1 et en -1 à l'ordre 3 .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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