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Soit n et m deux nombres entiers positifs ou nuls et x un nombre réel. On considère l'intégrale

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B DS 09 29 juin 2019

Exercice 1

Soit n et m deux nombres entiers positifs ou nuls et x un nombre réel. On considère l'intégrale

J n,m (x) = Z x

0

(x − t) n t m dt.

1. Exprimer J n,m (x) en fonction de J n−1,m+1 (x) pour n ≥ 1 . 2. En déduire une expression de J n,m (x). (on calculera J 0,n+m (x) )

3. En développant le binôme (x − t) n , donner une nouvelle expression de J n,m (x) . 4. Déduire des questions précédentes la valeur des sommes

n

X

p=0

(−1) p

p!(n − p)!(m + p + 1) .

5. Soit x un nombre réel. Calculer successivement sous les hypothèses a., b., c., d. l'inté- grale

F (x) = Z x

0

f (x − t)f(t)dt.

a. f (t) = e t .

b. f (t) = t k où k ∈ N.

c. f (t) = 1−t 1 en supposant x < 1 . d. f (t) =

1 si t ∈ [0, 1]

0 si t / ∈ [0, 1]

Exercice 2

Pour tout entier n ≥ 0 , on dénit

I n = Z 1

0

(1 + t) n 1 + t 2 dt 1. Calculer I 0 et I 1 .

2. Etablir l'existence d'un polynôme P n et de réels a n et b n tels que (1 + t) n

1 + t 2 = P n (t) + a n + b n t 1 + t 2

Montrer que a n et b n vérient la même relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coecients constants. Les exprimer au moyen de 2

n2

, cos(n π 4 ) , sin(n π 4 ) .

3. Montrer que I n peut s'écrire sous la forme p n + q n ln 2 + r n π où (p n ) n∈ N , (q n ) n∈ N , (r n ) n∈ N sont trois suites de nombres rationnels. Pour quelles valeurs de l'entier n a-t- on q n = 0 .

4. Calculer

I n+2 − 2I n+1 + 2I n

q n+2 − 2q n+1 + 2q n

r n+2 − 2r n+1 + 2r n

et établir une récurrence entre les p n . Que vaut p 5 ? (on mettra le résultat sous la forme d'une fraction irréductible)

5. En intégrant par parties, trouver des constantes A et B telles que I n = 2 n

n (A + B n + ◦( 1

n )) Exercice 3

Cet exercice repose sur l'utilisation de sommes de Riemann. Il convient de citer le théo- rème utilisé et de préciser la fonction à laquelle on l'applique.

Deux suites (a n ) n∈ N

et (b n ) n∈ N

sont dénies par :

∀n ∈ N , a n =

n−1

X

k=0

n

(n + k) 2 , b n = 1 2 −

n−1

X

k=0

n (n + k) 2 . 1. Calculer

Z 1

0

dx (1 + x) 2 . 2. Montrer la convergence et calculer la limite de (a n ) n∈ N

. 3. Soit F ∈ C 2 ([a, b]) .

a. Appliquer à la fonction F la formule de Taylor avec reste intégral entre a et b à l'ordre 1 .

b. En déduire l'existence d'un c ∈ [a, b] tel que

F (b) = F(a) + (b − a)F 0 (a) + (b − a) 2

2 F 00 (c) (reste de Lagrange) . 4. a. Pour n ∈ N , en utilisant la question 3.b. à des intervalles et à une fonction

soigneusement précisés, montrer que nb n est une somme de Riemann.

b. En déduire un développement limité de la suite (a n ) n∈N

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai S0409E

(2)

MPSI B DS 09 29 juin 2019

Exercice 4

Cet exercice repose sur l'utilisation de la décomposition en éléments simples.

Montrer la convergence et calculer la limite de la suite

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 2)

!

n∈ N

Exercice 5

On dénit des fonctions u , v , w dans R en posant pour tout réel x non nul u(x) = |x| x , v(x) = (u(x)) x , w(x) = |x| u(x) .

1. Montrer que u , v , w admettent en 0 des limites nies notées respectivement u 0 , v 0 , w 0

à préciser. On prolonge alors les fonctions en posant

u(0) = u 0 , v(0) = v 0 , w(0) = w 0 .

2. Pour chacune de ces trois fonctions a. Étudier le comportement en +∞ . b. Étudier la dérivabilité en 0.

c. Déterminer des développements limités en 1 et en -1 à l'ordre 3 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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