B136 − Incrustation.
Problème proposé par Michel Lafond
Rappelons qu’un carré magique d’ordre n (traditionnel) noté CMn est un carré de n × n cases, rempli par les nombres 1, 2, 3, …, n2 de telle sorte que les sommes des n lignes, n colonnes et 2 diagonales soient égales.
On dit qu’il y a incrustation (n ; m) si un CMn est à l’intérieur d’un CMm. Ci-contre un exemple d’incrustation (3 ; 9)
Q1. Démontrer qu’il existe une incrustation pour tout entier . Q2. Démontrer que dans toute incrustation (n, m) on a
Q3. Trouver une incrustation (3 ; 8).
Solution de l'auteur.
Notons la somme constante d’un carré magique [La somme des n lignes vaut
Q1. Pour insérer un dans un on procède ainsi :
31 36 29 76 81 74 13 18 11 30 32 34 75 77 79 12 14 16 35 28 33 80 73 78 17 10 15 22 27 20 40 45 38 58 63 56 21 23 25 39 41 43 57 59 61 26 19 24 44 37 42 62 55 60 67 72 65 4 9 2 49 54 47 66 68 70 3 5 7 48 50 52 71 64 69 8 1 6 53 46 51
j = 1 j = 2 … j = n
i = 1
i = 2
…
i = n
J = 1 … J J = n
I = 1
I = 2
… I
I = n
Soit un carré magique d’ordre n
On partage le futur grand carré en carrés .
Ces carrés sont repérés par les indices I = 1, 2, …, n et J = 1, 2, …, n [Voir la figure ci-dessus].
Dans le carré repéré par I, J (en rose) on insère le carré auquel on a ajouté dans chaque case le nombre
Dans le grand carré, on aura dans chaque ligne (par exemple une des n lignes repérées par l’indice I) la somme
Chaque ligne du grand carré a pour somme , qui est justement la constante d’un . On ferait le même calcul pour une colonne ou une diagonale.
C’est ainsi que j’ai procédé pour n = 3 [Figure ci-dessus] dans laquelle on reconnaît 9 fois le carré en jaune) à une constants additive près.
Q2. Soit une incrustation (n ; m) avec
pour la somme constante de et pour la somme constante de 31 36 29 76 81 74 13 18 11
30 32 34 75 77 79 12 14 16 35 28 33 80 73 78 17 10 15 22 27 20 40 45 38 58 63 56 21 23 25 39 41 43 57 59 61 26 19 24 44 37 42 62 55 60 67 72 65 4 9 2 49 54 47 66 68 70 3 5 7 48 50 52 71 64 69 8 1 6 53 46 51
carré
carré
xxxxxxxx xxxxxxxxxx
x ligne i
xxx xxx xx
xxx xxx xxx xx
Soit i un des numéros de ligne du carré qui coupe le carré incrusté [Figure ci-dessus]
La somme des nombres représentés par les croix de cette ligne est égale à . Il y a en tout 2n (lignes ou colonnes) du carré qui coupent le carré incrusté
La somme de tous les nombres situés dans ces lignes ou colonnes, mais hors de est égale à
Or, l’effectif de tous ces nombres est égal à
Par conséquent, la somme S est inférieure ou égale la somme des plus grands nombres du carré à savoir la somme arithmétique
L’inégalité s’écrit
Après simplification par n (m – n) qui n’est évidemment pas nul on obtient :
qui se simplifie en
Les racines du trinôme en m sont , et comme m > n, on en déduit
Q3. Dans le cas n = 3, l’inégalité précédente donne qui implique
La plus "petite" incrustation possible est donc l’incrustation (3 ; 8) dont voici un exemple page suivante, obtenu par exploration aléatoire d’un carré d’ordre 8 contenant le carré magique d’ordre 3 (en jaune) dans une position fixée arbitrairement.
Pour sélectionner le meilleur carré de l’exploration, il faut définir un écart du carré C au carré idéal CM.
J’utilise l’écart naturel suivant : En notant ,
le nombre
est évidemment nul si et seulement si le carré est magique, et le carré est d’autant "meilleur" que e est petit.
En explorant quelques milliers de carrés, on sélectionne un carré pas trop mauvais : K (avec un écart e de quelques dizaines).
Pour diminuer l’écart (qu’on espère nul), il faut améliorer le carré sélectionné K (appelé modèle) en
effectuant quelques milliers des permutations aléatoires concernant deux cases (évidemment hors de CM3).
Dès qu’une permutation aboutit à un carré K’ dans lequel l’écart a diminué, le carré K’ devient le nouveau modèle. On s'arrête quand l’écart est nul.
En cas d’échec, on recommence, et ceci jusqu’au succès.
Cet algorithme paraît grossier, mais il fonctionne :
En bonus, ci-dessous, une incrustation (4 ; 11) dans laquelle le carré magique d’ordre 4 est celui de Francis Gaspalou à propos de son problème B 135. La constante vaut C11 = 671.
Remarque.
Il n’est pas évident qu’une incrustation (n ; m) existe lorsque
.
32 24 14 43 48 62 26 11 23 10 13 64 52 61 22 15 19 40 21 44 53 36 12 35 18 25 31 57 38 27 30 34 20 17 16 37 54 59 28 29 49 56 42 4 9 2 47 51 58 33 63 3 5 7 45 46 41 55 60 8 1 6 50 39
23 26 55 112 110 118 102 42 34 17 32 67 28 37 86 115 49 104 60 38 46 41 58 39 25 77 54 75 99 61 68 63 52 69 33 29 62 108 120 117 20 19 43 51 45 27 35 78 64 84 105 93 18 66 56 21 81 31 113 107 88 57 48 65 36 24 70 40 47 109 79 103 53 30 22 44 74 94 95 119 1 6 15 12 59 87 83 100 73 96 90 11 16 5 2 111 98 97 72 101 92 82 8 3 10 13 76 106 91 89 50 114 121 14 9 4 7 71 116 85 80
Par exemple, avec n = 8, on a donc mais la marge est faible…
Je pense néanmoins que toutes les incrustations théoriquement possibles le sont pratiquement.
