A428 - Les polars de Las Vegas

Problème proposé par Patrick Gordon

Quatre amis Alice, Bernard, Caroline et Daniel décident de se rendre au Caesars Palace de Las Vegas pour passer la soirée devant les bandits manchots de ce célèbre casino.

Q₁ Ils vont dans une première salle où n machines sont alignées à intervalles réguliers. Ils décident que chacun ira s'installer devant un bandit manchot de sorte que leurs positions définies par quatre points sur une même droite sont en division harmonique. Comme ils sont polars, ils calculent que compte tenu des permutations qu'ils peuvent effectuer entre eux devant quatre machines bien déterminées, le nombre total de configurations distinctes possibles est égal à 384. Calculer n.

Q2 Dans une deuxième salle, le nombre k de bandits manchots (toujours alignés à intervalles réguliers) est un carré parfait. Alice décide de s'installer devant la machine n°1 et Daniel devant la machine n°k. Démontrer que lorsque k est un carré parfait strictement supérieur à un carré parfait k02 que l’on déterminera,Bernard et Caroline peuvent se placer au moins de deux manières

différentes,chacun devant une machine,de sorte que les quatre amis forment toujours une division harmonique.

Application numérique: Bernard est devant la machine n°23. Déterminer k et le numéro de la machine devant laquelle s'installe Caroline.

Q

: Pour un ensemble donné de quatre machines, les quatre amis peuvent effectuer 24 permutations : il y a donc 384/24=16 ensembles de points en division

harmonique. Notons a, b, c, d les numéros des machines où sont installés chacun des amis : alors, par exemple, (c-a)(d-b)+(d-a)(c-b)=0 soit 2(ab+cd)=(a+b)(c+d).

Il faut un minimum de 7 machines (de 0 à 6) pour avoir au moins une division harmonique ; on en a alors 2 : (0, 2, 3, 6) et (0, 3, 4, 6). Pour chaque nombre de machines n supérieur à 7, jusqu’à 12, on obtient deux nouvelles divisions par translation des premières (1, 3, 4, 7) et ( 1, 4, 5, 7), etc...

Avec n=13 machines, on a de plus (0, 4, 6, 12) et (0, 6, 8, 12), ce qui fait bien un total de 16 ensembles.

Q

: Si k=i

, a=0, d=i

-1, b(d-c)=(c-b)d ou 2/c-1/b=1/d=1/(i

-1) dès que i≥5, on a la solution c=4(i-1), b=2(i+1)<c=4(i-1)<i

-1

Puisque b=22, i+1=11, k=100 et 4(i-1)=36 : Caroline est devant la machine 37.

A428 - Les polars de Las Vegas