M2019} de 1009 points chacun.

Enoncé D2920 (Diophante) Partage équitable

On trace 2021 points dans le plan de sorte que trois quelconques d’entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre quelconques d’entre eux ne sont jamais cocycliques.

Démontrer qu’on sait toujours tracer un cercle qui contient trois points sur sa circonférence, avec 1009 points qui sont à l’extérieur et 1009 points qui sont à l’intérieur.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Partant d’un cercle assez grand pour contenir tous les 2021 points à son intérieur, je le réduis peu à peu pour obtenir un cercle passant par 3 des points et contenant les 2018 autres à son intérieur.

Je renomme les 3 pointsM₂₀₁₉, M₂₀₂₀, M₂₀₂₁dans le sens trigonométrique, puis tous les autres points en sorte que les angles (MkM2021, M2020Mk) aillent croissant de (M₁M₂₀₂₁, M₂₀₂₀M₁) à (M₂₀₁₈M₂₀₂₁, M₂₀₂₀M₂₀₁₈).

Le cercleγ circonscrit au triangleM₁₀₁₀M₂₀₂₀M₂₀₂₁ répond à la question.

On a en effet, pour 1≤k≤2018,

(M₂₀₁₉M₂₀₂₁, M₂₀₂₀M₂₀₁₉)−π <(M_kM₂₀₂₁, M₂₀₂₀M_k)<

(M2019M2021, M2020M2019),

et le cercle γ sépare les deux sous-ensembles {M₁, . . . , M1009} et {M₁₀₁₁, . . . , M₂₀₁₉} de 1009 points chacun.