Par ailleurs les points terminaux B et E de chacun de ces modules sont situés à une distance unité

(1)

D201 - Des distances très unitaires…[**** à la main]

Solution

1) La configuration de 7 points est constituée de deux modules OABC et ODEF qui ont un point commun O et chacun d’eux est construit en juxtaposant deux triangles équilatéraux OAC ET ABC de côté 1 d’une part, ODF et DEF également de côté 1 d’autre part. Par ailleurs les points terminaux B et E de chacun de ces modules sont situés à une distance unité. On vérifie ainsi que tout sous-ensemble de 3 points :

- est contenu dans un module et il existe au moins une paire de points séparée de la distance unité,

- a deux points dans un module et le troisième dans le second module. Soit les deux points qui appartiennent à un même module sont séparés de la distance unité, soit ce sont les points terminaux (O et B par exemple) mais n’importe quel point du second module est à une distance unité de l’un de ces deux points

2) Il n’existe pas de configuration à 8 points qui a les mêmes caractéristiques….mais la démonstration reste à faire

3) Il existe une configuration de 10 points qui répond à la question. Elle est réalisée en ajoutant à la configuration à 7 points de la 1^ère question un triangle équilatéral GHI de côté unité. Si trois de quatre points sont parmi les 7 points de la configuration initiale, la paire de points séparés par une distance unité est trouvée. Si deux seulement des quatre points en font partie, les deux autres points appartiennent au triangle équilatéral GHI et on est certain qu’ils sont séparés par la distance unité. A noter que la triangle GHI n’a aucun line particulier avec la configuration de 7 points. C’est par commodité et souci de symétrie que la figure ci-après montre GHI symétrique de ABC par rapport à l’axe vertical passant par O.

(2)

4) La configuration dans l’espace à 3 dimensions qui contient le plus grand nombre de points tels que parmi tous les sous-ensembles de 3 points au moins une paire est séparée de la distance unité, peut être construite selon le

même principe que la configuration à 7 points dans le plan. On considère deux

modules OABCD et OEFGH qui ont un point commun O et chacun d’eux est construit en juxtaposant deux tétraèdres réguliers OABC et ABCD de côté 1 d’une part, OEFG et EFGH également de côté 1 d’autre part. Les tétraèdres ont respectivement les triangles équilatéraux ABC et EFG pour faces communes. Par ailleurs les points terminaux D et H de chacun de ces modules sont situés à une distance unité. Il y a donc au total 9 points. On vérifie ainsi que tout sous-ensemble de 3 points :

- est contenu dans un module et il existe au moins une paire de points séparée de la distance unité,

- a deux points dans un module et le troisième dans le second module. Soit les deux points qui appartiennent à un même module sont séparés de la distance unité soit ce sont les points terminaux (O et D par exemple) mais n’importe quel point du second module est à une distance unité de l’un de ces deux points

(3)