Question no. 1 : (10 points)

(1)

Question no. 1 : (10 points)

1. En se rappelant qu’on ne peut insérer une source dans un circuit thermique, on obtient :

(2 POINTS)

Les deux résistances sont données par :

ln(( ) /

`

^cond

2

_iso

R t R

R k

^;

` 1

2 ( )

R

conv

R t h

^.

2. Pour déterminer les conditions aux frontières, nous avons vu en classe qu’une source induit un maximum au centre du fil. Par conséquent, la condition au centre est donnée par

0

r

dT

dr

^.

La deuxième condition est une température imposée

T R ( ) T

_i. Or on stipule dans la question de le donner en fonction d’autres variables. Plusieurs formes peuvent être ici acceptées.

Donnons celle-ci en exemple : ^, ⁱ _i ^,

(

^,_cond ^,_conv

)

cond conv

T T

q T q R R T

R R

. On pourrait

aussi substituer la

q

^, par

qV 

ou

V

est le volume du fil. (1.5 points par condition pour un total de 3 points).

3. Pour déterminer la distribution de température, nous devons utiliser l’équation de la diffusion de la chaleur en coordonnées cylindrique. En effectuant les simplifications qui s’imposent, l’équation de la diffusion de la chaleur est donnée par :

1 d

_fil

dT 0

k r q

r dr dr 

(1 POINTS)

Ainsi, par une double intégration, on trouve :

2 3

0 0

fil

d dT

k r rq r q r

dr dr  

;

4 3

0 0 1

4

1

4

fil

q q c

dT dT

k r r c r

dr dr k r

 

;

4 0

1 2

( ) ln( )

16

_fil

T r q r c r c

k



(2 POINTS)

À l’aide des conditions aux frontières trouvées au numéro 2, la première condition nous donne que

c

est nul. La deuxième condition nous donne

( ) q

⁰ ⁴

T R T  R c

. Ainsi, on trouve la q`

R`_cond R`_conv

T_i T∞ q`

(2)

2 ⁱ

16 k

_fil

chaleur que nous avons intégrée, on trouve :

4 4

0 0

( ) 16

_fil ⁱ

16

_fil

q r q R

T r T

k k

 

. Finalement, on peut substituer la valeur de la deuxième condition à la frontière pour obtenir la distribution de température dans le fil :

4 4

, , ,

0 0

( ) ( ( ) )

16

_fil ^cond ^conv

16

_fil

q r q R

T r q R R T

k k

 

(Réponse). (2 POINTS)

(3)

1) Il existe deux types de circuit thermique accepté pour cette question. Nous n’en présentons qu’un format dans le solutionnaire.

(2 POINTS)

Les deux résistances sont données par :

1.1364 / ( )

mur cond

mur

L

R L K W

kA k Hw

^;

1 0

0

( )

1 (1 )

fin t

f f t

R hA

NA A

Nous calculons _f à l’aide du tableau 3.5 :

2 79.1

bois

m h

k t

/ 2 0.305

L

c

L t m

tanh( )

c

0.04

f

c

mL mL

Calculons maintenant les aires. On se rappel que l’aire

A

_f est l’aire de l’ailette soumis à la convection. Par conséquent, on obtient :

2* 0.61

2

f tab

A tw L w m

;

3.8

2

t f

A NA Hw Ntw m

;

Finalement, par substitution numérique, on trouve :

0

0.538;

0.0978 / R

fin

K W

(3 points pour les diverses formules, 0.25 par erreur)

2) Pour trouver la dissipation de chaleur, on somme le circuit thermique et on obtient :

1

6.48 T T

q W

(Réponse) (1 point formule, 0.5 point résultats numérique) q

R`_cond R`_fin

T₁

T∞

q T2

(4)

sommation sont acceptées) :

2

2 _fin

17.6

fin

T T

q T qR T C

R

(RÉPONSE) (1.5 POINTS)

4) Le mur dissipe légèrement plus de chaleur avec les tablettes car ces dernières agissent comme des ailettes. Le phénomène responsable est l’augmentation de l’aire en contact avec la convection par l’ajout des tablettes. (2 POINTS)

(5)

1) D’abord, supposons que les gradients de température sont négligeables dans le solide (nous calculons Biot au numéro 2 pour confirmer cette hypothèse), alors le circuit thermique est :

(1 POINTS)

2) D’abord, vérifions si nous pouvons utiliser la méthode LCM en calculant le nombre de Biot.

On se rappel que pour trouver la longueur caractéristique, il faut diviser le volume par l’aire en contact avec la convection. Ainsi on obtient (1 POINT pour Biot)

2

0.0138

c

h r H

rH r hL

k k

. Biot étant inférieur à 0.1, on peut donc utiliser la méthode LCM. Effectuons un bilan autour du poids :

(3 points bilan)

in out g st

E  E  E  E 

. Or selon notre bilan,

( ) ( )

1/ ( ) 1/ ( )

out cond conv

sol

g p

T t T T t T

E q q

Sk hA

E c V dT dt



Et les autres termes du bilan sont nuls. Par conséquent, on obtient l’équation différentielle suivante :

1 2

( ) ( )

p

T t T T t T dT

R R c V dt

^.

Posons

θ

(t)=T(t)-T∞, on obtient :

2 1

1 2

( )

_p

R R d

t c V

R R dt

Posons ² ¹

1 2

1

p

R R

a c V R R

, on obtient ainsi l’équation à résoudre :

( ) d a t

dt

. Intégrons cette équation : (2 points pour l’équation différentielle)

q_conv(t)

1/hA₂ 1/Sk_sol

q_cond(t)

q_conv(t) qcond(t)

T(t)

T∞

(6)

0

ln ln ( )

i

i i

T t T

at T T

(1 points pour la résolution de l’EDO)

Calculons maintenant les divers coefficients :

1 1

0.98 /

cond

2

sol sol

R K W

Sk Dk

2

1 1

0.06 /

( 2 )

R

conv

K W

hA h r rH

2

1 0.000062846

( )

cond conv

p cond conv

R R

a c r H R R

1 ln

^final

44444.7

i

T T

t s

a T T

ou encore 740 minutes. (Réponse) (1.5 points pour le calcul de a et des résistances, 0.5 point pour le résultat numérique)

(7)

Question no. 4 : (5 points + BONUS 2 points)

1) Une source induit un flux non-constant, ce qui est incompatible avec les propriétés d’un circuit thermique.

2) L’équation de diffusion de la chaleur régit la distribution de température dans un solide.

L’hypothèse qu’on émet pour utiliser la méthode LCM est que les gradients de température sont nuls. Par conséquent, nous n’utilisons pas cette équation car nous avons supposé que la distribution est constante.

3) Dans un médium semi-infini, nous utilisons la solution exacte. Il n’est donc nullement nécessaire d’émettre des hypothèses dans ces circonstances.

4) Le flux en coordonnées cylindrique n’est pas constant.

5) Le facteur de forme S peut-être considéré comme une résistance géométrique. Il est déduit de la solution analytique.

6) BONUS : Cette affirmation est vraie dans l’optique ou l’on analyse que la conduction. Le fait que l’épaisseur soit sous vide implique qu’il n’y a pas de conduction (il n’y a pas de conduction dans le vide). Ainsi, le thermos perd sa chaleur uniquement par

rayonnement.