Question 1 10 points

Question 1 10 points

a) En n’oubliant pas qu’on ne modélise pas une source dans un circuit thermique, on obtient :

1 point

Avec R

L

/ k

et R

1/ h .

Nous avons vu en classe que la distribution de température est donnée par (équation 3.42 de Incropera) :

1.

2 2

2 1

( ) (1 )

2

a

a a

qL x

T x T

k L



1 point

Or selon la question, on ne peut avoir T

dans la solution. Par conséquent, par sommation directe du circuit thermique, on obtient :

2.

1 2

''

( )

T T q qL

R R



1 point 3. T

qL R

(

R

) T

Ainsi par substitution directe dans l’équation 1), on obtient 4.

2 2

1 2

( ) (1

) ( )

2

a

a

a a

qL x

T x qL R R T

k L

 

(RÉPONSE question a) 1 point

T

R

q’’

T

R

le circuit thermique suivant :

1 point

La température maximale dans le mur est donnée à x = 0, ainsi on obtient : 5.

2

max 1

2

a a

T qL T

k



2 points

Or il faut encore trouver la valeur de

. Par un bilan, en sommant le circuit thermique, on obtient :

6.

1 2

e e

rad

T T T T

R q R 1 point

7.

2

( _rad T^e T ) _e

T q R T

R

Par substitution de l’équation 7) dans l’équation 5), on obtient : 8.

2

4 4

max 1

2

( ( ) )

2

a e

e e

a

qL T T

T T T R T

k R



(RÉPONSE) 2 points

T

R

T

R

q’’

q

Question 2

Il existe deux types de circuit thermique accepté pour ce problème.

1 point

Par sommation directe du circuit thermique, on obtient :

1. ^{,i ,o}

tot

T T

q R

1 1

( )

tot conv cond

base fin

R R R

R R

2 points Calculons les diverses résistances :

1. ln( / )^{2 1} ln(16 / 13)

0.0017 / 2 2 * 0.013*1

cond

r r

R K W

kL _{1 point}

2. 1 1

0.0025 / 5000* 2 *0.013*1

conv i i

R K W

h A _{1 point}

3. A_base 2 r L₂ NtL 2 *0.016 8*0.003 0.0765m² 4.

0

1 1

0.0654 / 200*0.0765

base

base

R K W

h A

Pour trouver l’efficacité de l’ailette, j’utilise les formules du tableau 3.5 :

5.

2 2 * 200

20 * 0.003 81.6 m h

kt

6. tanh( )

f 0.49

mL mL

7.

A

( r

r w

) * 2 (0.04 0.16) *1* 2 0.048 m

R

R

R

R

q

3.5 points pour efficacité et résistance

9. 1 1 ¹

0.0025 0.0017 ( ) 0.0230 /

0.0654 0.0266

Rtot K W

10. 90 25 0.0230 2826

q W(RÉPONSE) 0.5 point pour numérique

Note

Lors de l’utilisation des formules du tableau 3.5, nous utilisons la longueur L et non la longueur caractéristique L_c car le bout de l’ailette n’est pas soumis à la convection (CF bas de la page 151 et haut de la page 152 de Incropera). De même, l’aire de l’ailette est calculée avec la vraie longueur et non la longueur caractéristique. (-0.5 point)

La deuxième méthode consiste à utiliser l’efficacité globale :

1.

2

0

1 0

0.4605

1 (1 ) 0.58

( ) 0.01872

t f b

f f t

fin t

A NA A m

NA A

R hA

Ainsi, la résistance totale est maintant : 2. R_tot R_conv R_cond R_fin 0.02292K W/ 3.

q 2836 W

Question 3 (8 points)

(0.5 point) Par sommation directe du circuit thermique :

1. ^{1 2}

2 ,1 2 ,2

'

d d

T T

q R R

(1 point) 2. _{2 ,1}^' _'

2 2

1 0.284 R

S k

3. ₂^' _{2 2 2}

1

2 4.408

cosh ( 4 )

2

S D d z

Dd

(IL FAUT VÉRIFIER LES DEUX

HYPOTHÈSES POUR AVOIR TOUS LES POINTS) 4. _{2 ,2}

3 3

1 1.395 R

S k

2

1.434 ln( 4 )

S z

D

(IL FAUT VÉRIFIER LES DEUX HYPOTHÈSES POUR

AVOIR TOUS LES POINTS)

6. 150 0

' 89.3 /

1 1

12.4*0.8 1.284*0.5

q W m (RÉPONSE) (0.5 point)

Or par égalité dans le circuit thermique, on a aussi

7. ^{1 2}

2 ,1

'

d

T T

q R

' 124.7

T q T Celsius

S k

T

T

T

R

R

q’

La première étape en transitoire est de calculer le nombre de Biot. Attention, il ne s’agit pas d’un cylindre infini, il faut donc prendre en compte le haut et le bas de la canette :

2

2

0.0121

* 2 2

c

V r H

L m

A r rH

Ainsi on trouve le nombre de Biot : 0.076 0.1

hLc

Bi k , on peut donc utiliser la méthode LCM. 2 points

Ainsi on trouve :

ln 1281

c p i

t L c

h

(1 exp( ))

p i

Q Vc t avec

L c

2033

h s

D’où 28588

Q Joules (RÉPONSE) 1 point