Question de cours (3 points)

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques

Licence (S 6)

M 310 : CALCUL DIFF ´ERENTIEL mars 2010

Dur´ee 2 heures

Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. On aura soin d’´enoncer pr´ecis´ement les th´eor`emes utilis´es.

Le bar`eme est indicatif

Question de cours (3 points)

1. Donner l’´enonc´e du th´eor`eme des accroissements finis sur un ouvert convexe.

2. Donner l’´enonc´e du th´eor`eme d’inversion locale.

Exercice 1 (4 points)

On consid`ere la fonctionF :R²→R² d´efinie par F(x, y) = (x²+y², xy) 1. Montrer que cette fonction est de classeC¹.

2. Montrer que Ω ={(x, y);x6=y, x6=−y} est un ouvert deR².

3. Montrer queF est unC¹(R,R)-diff´eomorphisme local en tout point de Ω et queF(Ω) est un ouvert.

4. La fonctionF est-elle un diff´eomorphisme local au voisinage de (1,1) ?

Exercice 2 (6 points)

On consid`ere l’applicationF :R²→R² d´efinie par F(x, y) = (x³+y³,(x−y)³)

et l’on noteF^(k)=F◦ · · · ◦F la compos´ee k-fois deF avec elle-mˆeme. On consid`ere l’ensemble Ω ={(x, y)∈R²; lim_k→∞F^(k)(x, y) = (0,0)}.

1. Montrer queF est de classeC¹. 2. Montrer que (0,0)∈Ω.

3. Montrer qu’il exister >0 tel que pour tout (x, y)∈B((0,0), r),||DF(x, y)|| ≤

1

2. En d´eduire queB((0,0), r)⊂Ω et que Ω est un voisinage de (0,0).

1

4. Montrer que si (x, y) ∈ Ω, il existe un entier l ≥ 1 tel que F^(l)(x, y) ∈ B((0,0), r). Montrer que (F^(l))⁻¹(B((0,0), r)) est un voisinage ouvert de (x, y) contenu dans Ω. Conclure que Ω est ouvert.

5. Montrer que si (x, y) ∈ Ω, pour tout r´eel t, 0≤ t ≤ 1,t(x, y) ∈ Ω. En d´eduire que Ω est connexe.

Exercice 3 (7 points)

1. Soitkun nombre r´eel tel que 0< k <1 etu∈ C¹(R,R). Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) ∀x, y∈R |u(x)−u(y)| ≤k|x−y|

(ii) ∀x∈R |u⁰(x)| ≤k

o`u u⁰ d´esigne la d´eriv´ee de la fonction u. Une telle fonction sera dite k- contractante.

2. On se donne un r´eel k, 0 < k < 1 et une fonction u ∈ C¹(R,R) k- contractante. On pose g(x, y) = (−u(y), u(x)) pour tout (x, y) ∈ R² et f =Id_R²+g.

L’espaceR² est muni de la norme||(x, y)||=Sup(|x|,|y|).

(a) V´erifier quegetf sont de classeC¹. En quels points deR²la matrice jacobienne def est-elle inversible ?

(b) Montrer les relations

∀v1, v2∈R² ||g(v1)−g(v2)|| ≤k||v1−v2||

∀v1, v₂∈R² ||f(v1)−f(v₂)|| ≥(1−k)||v1−v₂||

(c) Soit (a, b)∈R² fix´e. Montrer que l’application φ: (x, y)7→(a, b)− g(x, y) admet un unique point fixe dans R².

(d) En d´eduire que f est bijective, puis que c’est unC¹-diff´eomorphisme deR²dans lui-mˆeme.

(e) Montrer que la fonction d´efinie paru(x) =e^−x2 est contractante sur R. En d´eduire qu’il existe une fonctionh∈ C¹(R²,R²) telle que

∀(x, y)∈R², h(x−e^−y2, y+e^−x2) = (x, y).

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