Question de cours (2 points)

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Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques

Licence (S 6)

M 310 : CALCUL DIFF ´ERENTIEL seconde session

Dur´ee 3 heures

Les documents et les calculatrices ne sont pas autorisés. On aura soin d’énoncer précisément les théorèmes utilisés.

Le bar`eme est indicatif

Question de cours (2 points)

1. SoitM une sous-variété d’un ouvertU deRⁿ définie par M =F⁻¹(0) où F :U → R^n−p est une submersion en tout point de M. Décrire l’espace tangent vectorielT_aM en un pointa∈M. Quelle en est la dimension ? 2. Enoncer le théorème de l’image ouverte.

Exercice 1 (6 points)

Soit a, b∈R des réels fixés. On considère la fonctionF :R³ → R² définie parF(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z)) oùu(x, y, z) =x²+y²−2xetv(x, y, z) = ax+by+z et une fonction g : R³ → R de classe C¹. Soit M = {(x, y, z) ∈ R³;F(x, y, z) = (0,0)}.

1. Montrer queF est de classeC¹, queF est une submersion au voisinage de tout point deM et que M est une sous-vari´et´e deR³.

2. Montrer queM est compacte. En d´eduire quegadmet un minimum global et un maximum global surM. Montrer qu’en un point (x, y, z)∈M o`u g admet un extremum,

det







∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂g

∂x

∂g

∂y

∂g

∂z





= 0

3. On suppose ici queg(x, y, z) =xy. On considère la restriction deg à M. Déterminer ses points critiques et les valeurs de g correspondantes. En déduire ses extrema globaux et les points deM où ils sont atteints.

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Exercice 2 (4 points)

On consid`ere la fonctionH :R²×R^∗→R²d´efinie par F(x, y, t) = (x²+y²−t, xyt−1)

etM ={(x, y, t)∈R²×R^∗:F(x, y, t) = (0,0)}. Soit (x₀, y₀, t₀)∈M,t₀6=√ 2.

1. Montrer qu’il existe un intervalle ouvertI⊂R^∗, un voisinage ouvertU de (x₀, y₀) dansR² et une fonctiong:I→U de classeC¹tels que

∀(x, y, t)∈U×I F(x, y, t) = 0⇔(x, y) =g(t) 2. Soitt∈I. Exprimer g⁰(t) en fonction de (x(t), y(t)) =g(t).

Exercice 3 (8 points)

On considère l’espaceRⁿ muni d’un produit scalaire noté < ., . > et de la norme euclidienne associée ||x|| =√

< x, x >. On consid`ere un ferm´eF ⊂Rⁿ et l’on pose, pour toutx∈Rⁿ, f(x) =d(x, F) =Infz∈F||x−z||.

1. Montrer que d(x, F) est atteinte sur F, c’est `a dire qu’il existe y ∈ F, d´ependant dex, tel quef(x) =||x−y||.

2. Montrer la relation suivante

∀x, x⁰ ∈Rⁿ |f(x)−f(x⁰)| ≤ ||x−x⁰||

Dans la suite on fixex∈Rⁿ. Et l’on note y∈F un point tel quef(x) =

||x−y||.

3. Soitv∈Rⁿ, ett∈R,t >0 ; montrer l’in´egalit´e

f(x+tv)²−f(x)²≤ ||x+tv−y||²− ||x−y||² et en d´eduire

f(x+tv)²−f(x)²

t ≤2< v, x−y >+t||v||² 4. On suppose ici quex /∈F et que f est diff´erentiable enx.

(a) Montrer que f² est différentiable en x et que, pour tout v ∈ Rⁿ, Df²(x).v ≤2< v, x−y >. En appliquant cette dernière inégalité à

−vaussi, montrer que

∀v∈Rⁿ Df²(x).v= 2< v, x−y >

(b) En d´eduire la formule

(?) ∀v∈Rⁿ Df(x).v= 1

||x−y|| < v, x−y >

2

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(c) On suppose que d(x, F) est atteint en deux points y1 et y2, c’est `a dire quey1, y2∈F, etf(x) =d(x, F) =d(x, y1) =d(x, y2). D´eduire de la formule (?), que

∀v∈Rⁿ < v, y1−y2>= 0 et quey1=y2.

Formuler le r´esultat obtenu.

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