D2920-Partage équitable
Problème proposé par Bernard Vignes
On trace 2021 points dans le plan de sorte que trois quelconques d’entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre quelconques d’entre eux ne sont jamais cocycliques.
Démontrer qu’on sait toujours tracer un cercle qui contient trois points sur sa circonférence, avec 1009 points qui sont à l’extérieur et 1009 points qui sont à l’intérieur.
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Solution
Inversons l’ensemble E des 2021 points P selon une inversion centrée en un point C choisi parmi eux. L’image du point C n’étant pas définie, on obtient un ensemble E’ de 2020 points P’
inverses des P. Trouvons une droite L’ partitionnant E’ en deux sous-ensembles de 1010 points, E’1 et E’2, par exemple en déplaçant une parallèle à une direction fixe jusqu’à obtenir ce
résultat. Déplaçons la droite L’ jusqu'à venir au contact des enveloppes convexes de E’1 et E’2, soit en un point P’1 et un point P’2 de part et d’autre. L’inverse L de la droite L’ est un cercle (ou une droite) passant par le point C et les inverses P1 et P2. Considérons ces trois points :
l'hypothèse de non-alignement élimine la possibilité d’une droite ; l’hypothèse de non-cocyclicité garantit qu’il ne peut pas y avoir de troisième point de contact. E’1 et E’2 ont donc 1009 points chacun. Finalement, l'inversion étant une transformation continue, L partitionne E de la même manière que L’ partitionne E’. Le cercle L est donc solution.
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